Cho đồ thị \(\left( C \right):y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+3\) và đường thẳng d:y=ax với \(m,\,\,a\) là các tham số và a>0. Biết rằng A, B là hai điểm cực trị của \(\left( C \right)\) và d cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm C,D sao cho \(CD=4\sqrt{2}\) và ACBD là hình bình hành. Tính diện tích của ACBD.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Đặt \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+3\).
Ta có: \({f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x+m, f''\left( x \right)=6x-6\).
\({f}''\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=1, f\left( 1 \right)=m+1\), tức điểm uốn của đồ thị là \(I\left( 1;m+1 \right)\).
Điều kiện cần để ACBD là hình bình hành là \(I\in d\), tức m+1=a.
Lúc này, hoành độ của \(C,\,\,D\) là nghiệm của phương trình \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+3=\left( m+1 \right)x\).
Ta có \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+3=\left( m+1 \right)x\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\ & x=1 \\ & x=3 \\ \end{align} \right.\).
Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(C\left( -1;-a \right)\) và \(D\left( 3;3a \right)\).
Do \(CD=4\sqrt{2},\,\,a>0\) nên ta tìm được a=1. Từ đây được m=0.
Với m=0 thì \(\left( C \right)\) thực sự có hai điểm cực trị, chúng lần lượt có tọa độ là \(\left( 0;3 \right),\,\,\left( 2;-1 \right)\).
Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(A\left( 0;3 \right)\) và \(B\left( 2;-1 \right)\). Lúc này, cùng với \(C\left( -1;-1 \right)\) và \(D\left( 3;3 \right)\) ta có ACBD thực sự là một hình hành và dễ dàng tính được diện tích của nó là 12.
Câu hỏi liên quan
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{3}}\left( 36-{{x}^{2}} \right)\ge 3\) là
-
Đường cong \(\left( C \right)\) hình bên là đồ thị của hàm số nào?
.PNG)
-
Nghiệm của phương trình \({\left( {2,5} \right)^{5x - 7}} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^{x + 1}}\) là:
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 3z + 2021 = 0\) và hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = - 3 + 2t\\ y = - 2 - t\\ z = - 2 - 4t \end{array} \right.;{\rm{ }}{d_2}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{3}\). Đường thẳng vuông góc mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 có phương trình là
-
Cho số phức z=-4+5i. Biểu diễn hình học của z là điểm có tọa độ
-
Tập nghiệm S của phương trình \({{\log }_{3}}\left( 2x+1 \right)-{{\log }_{3}}\left( x-1 \right)=1\) là:
-
Cho \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\text{d}x}=5\). Tính \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left[ f\left( x \right)+2\sin x \right]\text{d}x}\).
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AA' (tham khảo hình vẽ).
.png)
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng \(\left( A{B}'C \right)\) bằng
-
Cho cấp số nhân với \({{u}_{1}}\,=\,2;\,{{u}_{2}}\,=\,6\). Giá trị của công bội q bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({{d}_{1}}:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+2}{1}; {{d}_{2}}:\frac{x-5}{-3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+2y+3z-5=0\). Đường thẳng vuông góc với \(\left( P \right)\), cắt \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) có phương trình là
-
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}\left( {{2^{ - x}} + 5} \right)\) là
-
Đạo hàm cùa hàm số \(f\left( x \right) = {2^x} + x\) là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}+2mx+5 \right)\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số \(g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)\) có đúng một điểm cực trị
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} x - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x \ge 1\\ {x^2} - 2x + 3\,\,\,khi\,x < 1 \end{array} \right.\) .Tích phân \(\int\limits_0^{\ln 3} {{e^x}f\left( {{e^x} - 1} \right)dx} \) bằng
-
Trong không gian Oxyz điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( 3;5;2 \right)\) trên mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\)?
-
Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn \(0<y\le 2021\) và \({{3}^{x}}+3x-6=9y+{{\log }_{3}}{{y}^{3}}\)?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
.PNG)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=2-2i, {{z}_{2}}=-3+3i\). Khi đó số phức \({{z}_{1}}-{{z}_{2}}\) là
-
Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích xung quanh của hình nón bằng
-
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=\sqrt{2}a\). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
