Với giá trị nào của m thì M = {( 1 ,1 , 1), (1 , 2, 3 ), (0, 1, 2), (0, 2, k) } SINH ra R³?

Vì M = {x, y, z} là tập độc lập tuyến tính và t không là tổ hợp tuyến tính của M, điều này có nghĩa là {x, y, z, t} là một tập độc lập tuyến tính. Do đó, hạng của tập này là 4. Xét phương án 3, tổ hợp tuyến tính {x + y, x − y, z, t} vẫn độc lập tuyến tính (vì x, y độc lập tuyến tính nên x+y và x-y độc lập tuyến tính, và z, t độc lập tuyến tính với x, y). Vì vậy, hạng của {x + y, x − y, z, t} bằng 4. Phương án 1 sai vì {x, y, z + t, z − t} có hạng bằng 4, không phải 3. Phương án 4 sai vì x không thể biểu diễn qua y, z, t do {x, y, z, t} độc lập tuyến tính. Phương án 2 sai vì phương án 3 đúng.

Vì V là không gian vector có số chiều bằng 3, và {x, y} độc lập tuyến tính, z không là tổ hợp tuyến tính của {x, y}, suy ra {x, y, z} là một cơ sở của V. 

Xét đáp án 1: x + y, x − y, x + y + 3z là cơ sở của V. Ta cần kiểm tra tính độc lập tuyến tính của hệ này. 

Giả sử a(x + y) + b(x − y) + c(x + y + 3z) = 0. Khi đó (a + b + c)x + (a − b + c)y + 3cz = 0.

Vì {x, y, z} là cơ sở của V nên độc lập tuyến tính. Do đó a + b + c = 0, a − b + c = 0, 3c = 0.

Suy ra c = 0, a + b = 0, a − b = 0. Vậy a = b = c = 0. Vậy hệ {x + y, x − y, x + y + 3z} độc lập tuyến tính. Vì V có số chiều bằng 3, nên hệ này là một cơ sở của V. 

Đáp án 2 sai vì {x, y, z} là cơ sở của V nên nó sinh ra V.

Đáp án 3 sai vì V =< x, y, x + 2y > chỉ là một không gian con có số chiều tối đa là 2, do x + 2y là tổ hợp tuyến tính của x và y.

Vậy đáp án đúng là đáp án 1.

Ta có AX = D1 và AX = D2. Do đó, X1 = A^(-1)D1 và X2 = A^(-1)D2. Vậy X1 - X2 = A^(-1)D1 - A^(-1)D2 = A^(-1)(D1 - D2). D1 - D2 = (5, 6) - (5, 9) = (0, -3). Tính A^(-1): Định thức của A là det(A) = (1 * 9) - (2 * 3) = 9 - 6 = 3. Ma trận nghịch đảo của A là: A^(-1) = (1/3) * (9 -2, -3 1) = (3 -2/3, -1 1/3). Vậy X1 - X2 = (3 -2/3, -1 1/3) * (0, -3) = ( (3 * 0) + (-2/3 * -3), (-1 * 0) + (1/3 * -3)) = (0 + 2, 0 - 1) = (2, -1). Vậy X1 - X2 = (2, -1).