Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để (-1 + i)ⁿ là một số thực:

n = 3

n = 4

n = 1

n = 6

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Ta có (-1 + i) = \(\sqrt{2}\)(cos(3π/4) + i sin(3π/4)). Do đó, (-1 + i)^n = (\(\sqrt{2}\))^n (cos(3nπ/4) + i sin(3nπ/4)). Để (-1 + i)^n là một số thực, ta cần sin(3nπ/4) = 0. Điều này xảy ra khi 3nπ/4 = kπ, với k là một số nguyên. Suy ra 3n = 4k, hay n = (4/3)k. Vì n là một số nguyên dương nhỏ nhất, ta chọn k = 3, suy ra n = 4. Vậy, n = 4 là số nguyên dương nhỏ nhất để (-1 + i)^n là một số thực.

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 1

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 5:

Tìm argument φ của số phức \(z = {\textstyle{{1 + i\sqrt 3 } \over {1 + i}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có:
\(z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{1 + i} = \frac{(1 + i\sqrt{3})(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 + \sqrt{3} + i(\sqrt{3} - 1)}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} + i\frac{\sqrt{3} - 1}{2}\)
Gọi \(\varphi\) là argument của z. Ta có:
\(\tan(\varphi) = \frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{2}}{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{3 - 1} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}\)
Vì \(\tan(\frac{\pi}{12}) = 2 - \sqrt{3}\), nên \(\varphi = \frac{\pi}{12}\).
Số phức \(1 + i\sqrt{3}\) có argument là \(\frac{\pi}{3}\)
Số phức \(1 + i\) có argument là \(\frac{\pi}{4}\)
Vậy argument của z là \(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}\)
Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng khớp, đáp án gần nhất là \(\frac{7\pi}{12}\) nhưng vẫn không đúng.
Ta có \(1 + i \sqrt{3} = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}))\)
\(1 + i = \sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{\pi}{4}))\)
\(z = \frac{2}{\sqrt{2}} (\cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4})) = \sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{12}) + i \sin(\frac{\pi}{12}))\)
Vậy argument của z là \(\frac{\pi}{12}\).
Có lẽ các đáp án đã bị sai lệch.

Câu 6:

Tìm argument φ của số phức \(z = (1 + i\sqrt 3 )(1 - i)\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Câu 7:

Tìm argument φ của số phức \(z = \frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{{{{(1 + i)}^{15}}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Câu 8:

Tìm \(\sqrt { - 9} \) trong trường số phức

Lời giải:

Đáp án đúng: C

\(\sqrt{-9} = \sqrt{9 \cdot (-1)} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{-1} = 3i\). Vì trong trường số phức, \(i^2 = -1\), nên \(\sqrt{-1} = i\) hoặc \(\sqrt{-1} = -i\). Do đó, \(\sqrt{-9} = 3i\) hoặc \(\sqrt{-9} = -3i\). Vậy, z₁ = 3i; z₂ = −3i.

Câu 9:

Tính \(z = \frac{{2 + 3i}}{{3 - i}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tính z = (2 + 3i) / (3 - i), ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu, tức là (3 + i):
z = ((2 + 3i) * (3 + i)) / ((3 - i) * (3 + i))
= (6 + 2i + 9i + 3i^2) / (9 - i^2)
= (6 + 11i - 3) / (9 + 1) = (3 + 11i) / 10 = 3/10 + (11/10)i
Vậy, z = 3/10 + (11/10)i

Câu 10:

Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 2&3&1\\ 3&4&5 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&m\\ 3&5&0\\ { - 4}&0&0 \end{array}} \right]\). Tính m để A khả nghịch.

Lời giải: