Tìm argument φ của số phức \(z = (1 + i\sqrt 3 )(1 - i)\)

\(\varphi = \frac{\pi }{{12}}\)

\(\varphi = \frac{\pi }{{3}}\)

\(\varphi = \frac{7\pi }{{12}}\)

\(\varphi = \frac{\pi }{{4}}\)

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Ta có: \(z = (1 + i\sqrt 3 )(1 - i) = 1 + \sqrt 3 + i(\sqrt 3 - 1)\) Suy ra: \(\tan \varphi = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{\sqrt 3 + 1}} = \frac{{(\sqrt 3 - 1)(\sqrt 3 - 1)}}{{(\sqrt 3 + 1)(\sqrt 3 - 1)}} = \frac{{4 - 2\sqrt 3 }}{2} = 2 - \sqrt 3 \) Vậy \(\varphi = \arctan (2 - \sqrt 3 ) = \frac{\pi }{{12}}\)

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 1

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 7:

Tìm argument φ của số phức \(z = \frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{{{{(1 + i)}^{15}}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có:

\(z = \frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{{{{(1 + i)}^{15}}}} = \frac{{2(\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3})}}{{{{(1 + i)}^{15}}}}\)

Lại có:

\(1 + i = \sqrt 2 (\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4})\)

Do đó:

\({(1 + i)^{15}} = {(\sqrt 2 )^{15}}(\cos \frac{{15\pi }}{4} + i\sin \frac{{15\pi }}{4}) = {2^{\frac{{15}}{2}}}(\cos \frac{{7\pi }}{4} + i\sin \frac{{7\pi }}{4})\)

Vậy:

\(z = \frac{{2(\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3})}}{{{2^{\frac{{15}}{2}}}(\cos \frac{{7\pi }}{4} + i\sin \frac{{7\pi }}{4})}} = {2^{ - \frac{{13}}{2}}}(\cos (\frac{{2\pi }}{3} - \frac{{7\pi }}{4}) + i\sin (\frac{{2\pi }}{3} - \frac{{7\pi }}{4}))\)

\(z = {2^{ - \frac{{13}}{2}}}(\cos (\frac{{ - 13\pi }}{{12}}) + i\sin (\frac{{ - 13\pi }}{{12}}))\)

Vì argument của số phức có tính chất cộng \(2k\pi \), nên:

\(\varphi = - \frac{{13\pi }}{{12}} + 2\pi = \frac{{11\pi }}{{12}}\)

Câu 8:

Tìm \(\sqrt { - 9} \) trong trường số phức

Lời giải:

Đáp án đúng: C

\(\sqrt{-9} = \sqrt{9 \cdot (-1)} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{-1} = 3i\). Vì trong trường số phức, \(i^2 = -1\), nên \(\sqrt{-1} = i\) hoặc \(\sqrt{-1} = -i\). Do đó, \(\sqrt{-9} = 3i\) hoặc \(\sqrt{-9} = -3i\). Vậy, z₁ = 3i; z₂ = −3i.

Câu 9:

Tính \(z = \frac{{2 + 3i}}{{3 - i}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tính z = (2 + 3i) / (3 - i), ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu, tức là (3 + i):
z = ((2 + 3i) * (3 + i)) / ((3 - i) * (3 + i))
= (6 + 2i + 9i + 3i^2) / (9 - i^2)
= (6 + 11i - 3) / (9 + 1) = (3 + 11i) / 10 = 3/10 + (11/10)i
Vậy, z = 3/10 + (11/10)i

Câu 10:

Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 2&3&1\\ 3&4&5 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&m\\ 3&5&0\\ { - 4}&0&0 \end{array}} \right]\). Tính m để A khả nghịch.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để ma trận A khả nghịch, định thức của nó phải khác 0. Ta có:

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
2&3&1\\
3&4&5
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&m\\
3&5&0\\
{ - 4}&0&0
\end{array}} \right]\)

Tính định thức của từng ma trận:

\(\det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
2&3&1\\
3&4&5
\end{array}} \right]} \right) = 1(15-4) - 1(10-3) + 1(8-9) = 11 - 7 - 1 = 3\)

\(\det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1&m\\
3&5&0\\
{ - 4}&0&0
\end{array}} \right]} \right) = -4(0-5m) = 20m\)

Vậy, \(\det(A) = 3 * 20m = 60m\)

Để A khả nghịch, \(\det(A) \ne 0\), tức là \(60m \ne 0\), suy ra \(m \ne 0\).

Câu 11:

Cho ma trận A: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1\\ 2&2&2&2\\ 3&3&3&3\\ 1&2&{ - 1}&3 \end{array}} \right]\). Tìm hạng của ma trận phụ hợp P_A?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng ma trận A có các hàng 1, 2, 3 tỉ lệ với nhau (hàng 2 gấp 2 lần hàng 1, hàng 3 gấp 3 lần hàng 1). Do đó, hạng của ma trận A nhỏ hơn 4. Ta xét các định thức con cấp 2 của A, ví dụ định thức tạo bởi hàng 1 và hàng 4, cột 1 và cột 2:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\1&2\end{array}} \right| = 1 \ne 0\)

Vậy hạng của A bằng 2 (rank(A) = 2).

Vì A là ma trận vuông cấp 4, ta có:

Nếu rank(A) = n thì rank(P_A) = n

Nếu rank(A) = n-1 thì rank(P_A) = 1

Nếu rank(A) < n-1 thì rank(P_A) = 0

Trong đó P_A là ma trận phụ hợp của A.

Ở đây n = 4, rank(A) = 2 < n-1 = 3 nên rank(P_A) = 0.

Câu 12:

Với giá trị nào của m thì \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&3&5\\ 3&{ - 2}&6\\ 2&{ - 7}&7 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&5&1\\ 3&4&6\\ m&1&4 \end{array}} \right]\) khả nghịch?

Lời giải: