Cho ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&0&{ - 4}\\ 4&2&4\\ 3&2&2 \end{array}} \right)\). Số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa \(r({A^k}) = r({A^{k + 1}})\) gọi là chỉ số của ma trận A. Tìm chỉ số của ma trận A.

Câu 17:

1- chuẩn của ma trận A là số lớn nhất trong tổng trị tuyệt đối của từng cột. Tìm 1- chuẩn của ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ - 1}&2\\ 3&7&1\\ 2&{ - 5}&4 \end{array}} \right).\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm 1-chuẩn của ma trận A, ta tính tổng trị tuyệt đối của các phần tử trong mỗi cột, sau đó chọn giá trị lớn nhất trong các tổng này.

Cột 1: |5| + |3| + |2| = 5 + 3 + 2 = 10
Cột 2: |-1| + |7| + |-5| = 1 + 7 + 5 = 13
Cột 3: |2| + |1| + |4| = 2 + 1 + 4 = 7

Giá trị lớn nhất trong các tổng là 13. Vậy, 1-chuẩn của ma trận A là 13.

Câu 18:

Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Vết của ma trận A^T.A là chuẩn Frobenius của ma trận A. Tìm chuẩn Frobenius của ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&6\\ 2&1&7\\ { - 2}&5&3 \end{array}} \right).\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có: A = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&6\\ 2&1&7\\ { - 2}&5&3 \end{array}} \right).\)

Chuẩn Frobenius của A là: \(\|A\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2}\) hay \(\|A\|_F^2 = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2\)

Tính \(\|A\|_F^2 = 3^2 + 4^2 + 6^2 + 2^2 + 1^2 + 7^2 + (-2)^2 + 5^2 + 3^2 = 9 + 16 + 36 + 4 + 1 + 49 + 4 + 25 + 9 = 153\)

Vậy \(\|A\|_F = \sqrt{153}\)

Câu 19:

Cho vecto đơn vị. Đặt I - u. u^T, vecto X = (1,-2,1)^T. Tính (I - u. u^T).X. Phép biến đổi (I - u. u^T) là phép chiếu vecto X lên mặt phẳng P là mặt phẳng qua gốc O nhận u làm vecto pháp tuyến.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Đầu tiên, ta cần chuẩn hóa vector u thành vector đơn vị. Giả sử u = (a, b, c). Vector đơn vị v sẽ là v = u / ||u||, trong đó ||u|| là độ dài của vector u.
Tiếp theo, ta tính ma trận chiếu P = I - v.v^T, với I là ma trận đơn vị 3x3.
Cuối cùng, ta tính P.X. Kết quả thu được sẽ là hình chiếu của vector X lên mặt phẳng P.

Giả sử u = (1, 1, 1) => ||u|| = sqrt(1² + 1² + 1²) = sqrt(3). Vậy v = (1/sqrt(3), 1/sqrt(3), 1/sqrt(3)).
v.v^T =

\(\begin{bmatrix}
1/3 & 1/3 & 1/3 \\
1/3 & 1/3 & 1/3 \\
1/3 & 1/3 & 1/3
\end{bmatrix}\)

I - v.v^T =

\(\begin{bmatrix}
2/3 & -1/3 & -1/3 \\
-1/3 & 2/3 & -1/3 \\
-1/3 & -1/3 & 2/3
\end{bmatrix}\)

(I - v.v^T).X =

\(\begin{bmatrix}
2/3 & -1/3 & -1/3 \\
-1/3 & 2/3 & -1/3 \\
-1/3 & -1/3 & 2/3
\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}
1 \\
-2 \\
1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
(2/3) + (2/3) - (1/3) \\
(-1/3) - (4/3) - (1/3) \\
(-1/3) + (2/3) + (2/3)
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
3/3 \\
-6/3 \\
3/3
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 \\
-2 \\
1
\end{bmatrix}\)

Với u=(1,1,1), ta nhận thấy không có đáp án nào đúng. Kiểm tra lại đề bài và các đáp án.

Nếu u = (1, -2, 1) => vector X tỉ lệ với u => hình chiếu của X lên mặt phẳng vuông góc với u là vector 0.

Vì không có thông tin gì thêm về vector u, ta không thể kết luận đáp án nào đúng.

Câu 20:

Cho \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\) là một nghiệm của \(\sqrt[n]{1}\). Ma trận vuông F_n = ( fk,j ) cấp n, với f_k,j=z^{(k−1).(j−1)} được gọi là ma trận Fourier. Phép nhân F_n . X được gọi là phép biến đổi Fourier. Tìm biến đổi Fourier của vecto X = ( 2, −1 )^T

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Câu hỏi yêu cầu tìm biến đổi Fourier của vector X = (2, -1)^T. Trong trường hợp này, n=2. Vậy z = cos(2π/2) - i.sin(2π/2) = cos(π) - i.sin(π) = -1.

Ma trận Fourier F₂ có dạng:

F₂ = (f_k,j) với f_k,j = z^(k-1)(j-1). Do đó:

f_1,1 = z^(1-1)(1-1) = z⁰ = 1
f_1,2 = z^(1-1)(2-1) = z⁰ = 1
f_2,1 = z^(2-1)(1-1) = z⁰ = 1
f_2,2 = z^(2-1)(2-1) = z¹ = -1

Vậy F₂ = [[1, 1], [1, -1]].

Biến đổi Fourier của X là F₂.X = [[1, 1], [1, -1]] . [[2], [-1]] = [[1*2 + 1*(-1)], [1*2 + (-1)*(-1)]] = [[2 - 1], [2 + 1]] = [[1], [3]].

Vậy biến đổi Fourier của X là (1, 3)^T.

Câu 21:

Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Cho ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3&2\\ 4&2&4\\ 3&2&2 \end{array}} \right)\) và \(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ - 2}&4\\ 1&3&7\\ 6&4&5 \end{array}} \right)\). Tìm vết của ma trận AB.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm vết của ma trận AB, trước tiên ta cần tính ma trận AB.

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&3&2\\
4&2&4\\
3&2&2
\end{array}} \right)\) và \(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
5&{ - 2}&4\\
1&3&7\\
6&4&5
\end{array}} \right)\)

\(AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1*5 + 3*1 + 2*6& 1*(-2) + 3*3 + 2*4 & 1*4 + 3*7 + 2*5 \\
4*5 + 2*1 + 4*6 & 4*(-2) + 2*3 + 4*4 & 4*4 + 2*7 + 4*5 \\
3*5 + 2*1 + 2*6 & 3*(-2) + 2*3 + 2*4 & 3*4 + 2*7 + 2*5
\end{array}} \right)\)

\(AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
5 + 3 + 12 & -2 + 9 + 8 & 4 + 21 + 10 \\
20 + 2 + 24 & -8 + 6 + 16 & 16 + 14 + 20 \\
15 + 2 + 12 & -6 + 6 + 8 & 12 + 14 + 10
\end{array}} \right)\)

\(AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
20 & 15 & 35 \\
46 & 14 & 50 \\
29 & 8 & 36
\end{array}} \right)\)

Vết của ma trận AB là tổng các phần tử trên đường chéo chính: 20 + 14 + 36 = 70.

Vậy, vết của ma trận AB là 70.

Câu 22:

Tìm ma trận X thỏa mãn \(X.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&5\\ 1&3 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2\\ 5&6\\ { - 1}&7 \end{array}} \right].\)

Lời giải: