Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Vết của ma trận A^T.A là chuẩn Frobenius của ma trận A. Tìm chuẩn Frobenius của ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&6\\ 2&1&7\\ { - 2}&5&3 \end{array}} \right).\)

Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm vector pháp tuyến đơn vị u: Vì u là vector pháp tuyến của mặt phẳng P, ta cần tìm vector đơn vị của nó. Đề bài cho X = (1, -2, 1)^T, ta chuẩn hóa X để được u.

Tuy nhiên đề bài không hề nói X là vecto pháp tuyến của mặt phẳng P. Đề bài chỉ nói u là vecto pháp tuyến của mặt phẳng P. Nên ở đây ta không có u.
Vì vậy ta không thể tính được (I - u.u^T).X

Vậy đáp án đúng là 3 câu trên đều sai

Câu hỏi yêu cầu tìm biến đổi Fourier của vector X = (2, -1)^T. Trong trường hợp này, n=2. Vậy z = cos(2π/2) - i.sin(2π/2) = cos(π) - i.sin(π) = -1. Ma trận Fourier F₂ có dạng: F₂ = (f_k,j) với f_k,j = z^(k-1)(j-1). Do đó: f_1,1 = z^(1-1)(1-1) = z⁰ = 1 f_1,2 = z^(1-1)(2-1) = z⁰ = 1 f_2,1 = z^(2-1)(1-1) = z⁰ = 1 f_2,2 = z^(2-1)(2-1) = z¹ = -1 Vậy F₂ = [[1, 1], [1, -1]]. Biến đổi Fourier của X là F₂.X = [[1, 1], [1, -1]] . [[2], [-1]] = [[1*2 + 1*(-1)], [1*2 + (-1)*(-1)]] = [[2 - 1], [2 + 1]] = [[1], [3]]. Vậy biến đổi Fourier của X là (1, 3)^T.

Để tìm ma trận X, ta có phương trình:

\(X.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&5\\
1&3
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
4&2\\
5&6\\
{ - 1}&7
\end{array}} \right]\)

Đặt \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&5\\
1&3
\end{array}} \right]\) và \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
4&2\\
5&6\\
{ - 1}&7
\end{array}} \right]\). Khi đó, phương trình trở thành \(X.A = B\).

Ta cần tìm ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu là \(A^{-1}\). Ta có:

\(det(A) = (2)(3) - (5)(1) = 6 - 5 = 1\)

Vậy, \(A^{-1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
3&{-5}\\
{-1}&2
\end{array}} \right]\)

Nhân cả hai vế của phương trình \(X.A = B\) với \(A^{-1}\) từ bên phải, ta được:

\(X.A.A^{-1} = B.A^{-1}\)

\(X = B.A^{-1}\)

Thay các ma trận vào, ta có:

\(X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
4&2\\
5&6\\
{ - 1}&7
\end{array}} \right].\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
3&{-5}\\
{-1}&2
\end{array}} \right]\)

\(X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
(4)(3) + (2)(-1)&(4)(-5) + (2)(2)\\
(5)(3) + (6)(-1)&(5)(-5) + (6)(2)\\
(-1)(3) + (7)(-1)&(-1)(-5) + (7)(2)
\end{array}} \right]\)

\(X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
12 - 2&{-20 + 4}\\
15 - 6&{-25 + 12}\\
{-3 - 7}&{5 + 14}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}&{-16}\\
9&{-13}\\
{-10}&{19}
\end{array}} \right]\)

Vậy, đáp án đúng là \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}&{ - 16}\\
9&{ - 13}\\
{ - 10}&{19}
\end{array}} \right]\)

Đầu tiên, ta tính định thức của ma trận A:
\(\begin{aligned}
\det(A) &= i \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2+i & 3 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2+i & 0 \end{vmatrix} \\
&= i(-3 - 0) - (3 - (2+i)) + (0 - (-1)(2+i)) \\
&= -3i - (1-i) + (2+i) \\
&= -3i - 1 + i + 2 + i \\
&= 1 - i
\end{aligned}\)
Ta có det(A) = 1 - i. Bây giờ, ta cần tìm số nguyên dương nhỏ nhất m sao cho det(A^m) là một số thực.
Ta biết rằng det(A^m) = (det(A))^m = (1 - i)^m. Ta cần tìm m nhỏ nhất sao cho (1 - i)^m là một số thực.
Ta chuyển 1 - i về dạng lượng giác: \(1 - i = \sqrt{2} \left( \cos{\frac{-\pi}{4}} + i \sin{\frac{-\pi}{4}} \right)\)
Áp dụng công thức De Moivre, ta có:
\((1 - i)^m = (\sqrt{2})^m \left( \cos{\frac{-m\pi}{4}} + i \sin{\frac{-m\pi}{4}} \right)\)
Để (1 - i)^m là một số thực, phần ảo phải bằng 0, tức là sin(-mπ/4) = 0.
Điều này xảy ra khi -mπ/4 = kπ, với k là một số nguyên.
Vậy, -m/4 = k, hay m = -4k. Vì m là số nguyên dương nhỏ nhất, ta chọn k = -1, suy ra m = 4.
Vậy, m = 4 là số nguyên dương nhỏ nhất để det(A^m) là một số thực.