Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Vết của ma trận A^T.A là chuẩn Frobenius của ma trận A. Tìm chuẩn Frobenius của ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&6\\ 2&1&7\\ { - 2}&5&3 \end{array}} \right).\)

Đầu tiên, ta cần chuẩn hóa vector u thành vector đơn vị. Giả sử u = (a, b, c). Vector đơn vị v sẽ là v = u / ||u||, trong đó ||u|| là độ dài của vector u.
Tiếp theo, ta tính ma trận chiếu P = I - v.v^T, với I là ma trận đơn vị 3x3.
Cuối cùng, ta tính P.X. Kết quả thu được sẽ là hình chiếu của vector X lên mặt phẳng P.

Giả sử u = (1, 1, 1) => ||u|| = sqrt(1² + 1² + 1²) = sqrt(3). Vậy v = (1/sqrt(3), 1/sqrt(3), 1/sqrt(3)).
v.v^T =

\(\begin{bmatrix}
1/3 & 1/3 & 1/3 \\
1/3 & 1/3 & 1/3 \\
1/3 & 1/3 & 1/3
\end{bmatrix}\)

I - v.v^T =

\(\begin{bmatrix}
2/3 & -1/3 & -1/3 \\
-1/3 & 2/3 & -1/3 \\
-1/3 & -1/3 & 2/3
\end{bmatrix}\)

(I - v.v^T).X =

\(\begin{bmatrix}
2/3 & -1/3 & -1/3 \\
-1/3 & 2/3 & -1/3 \\
-1/3 & -1/3 & 2/3
\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}
1 \\
-2 \\
1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
(2/3) + (2/3) - (1/3) \\
(-1/3) - (4/3) - (1/3) \\
(-1/3) + (2/3) + (2/3)
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
3/3 \\
-6/3 \\
3/3
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 \\
-2 \\
1
\end{bmatrix}\)

Với u=(1,1,1), ta nhận thấy không có đáp án nào đúng. Kiểm tra lại đề bài và các đáp án.

Nếu u = (1, -2, 1) => vector X tỉ lệ với u => hình chiếu của X lên mặt phẳng vuông góc với u là vector 0.

Vì không có thông tin gì thêm về vector u, ta không thể kết luận đáp án nào đúng.

Đầu tiên, ta tính định thức của ma trận A:
\(\begin{aligned}
\det(A) &= i \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2+i & 3 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2+i & 0 \end{vmatrix} \\
&= i(-3 - 0) - (3 - (2+i)) + (0 - (-1)(2+i)) \\
&= -3i - (1-i) + (2+i) \\
&= -3i - 1 + i + 2 + i \\
&= 1 - i
\end{aligned}\)
Ta có det(A) = 1 - i. Bây giờ, ta cần tìm số nguyên dương nhỏ nhất m sao cho det(A^m) là một số thực.
Ta biết rằng det(A^m) = (det(A))^m = (1 - i)^m. Ta cần tìm m nhỏ nhất sao cho (1 - i)^m là một số thực.
Ta chuyển 1 - i về dạng lượng giác: \(1 - i = \sqrt{2} \left( \cos{\frac{-\pi}{4}} + i \sin{\frac{-\pi}{4}} \right)\)
Áp dụng công thức De Moivre, ta có:
\((1 - i)^m = (\sqrt{2})^m \left( \cos{\frac{-m\pi}{4}} + i \sin{\frac{-m\pi}{4}} \right)\)
Để (1 - i)^m là một số thực, phần ảo phải bằng 0, tức là sin(-mπ/4) = 0.
Điều này xảy ra khi -mπ/4 = kπ, với k là một số nguyên.
Vậy, -m/4 = k, hay m = -4k. Vì m là số nguyên dương nhỏ nhất, ta chọn k = -1, suy ra m = 4.
Vậy, m = 4 là số nguyên dương nhỏ nhất để det(A^m) là một số thực.