Cho \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} i&1&1\\ 1&{ - 1}&1\\ {2 + i}&0&3 \end{array}} \right)\) với i2 = -1. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất m để det(Am) là một số thực.
Đáp án đúng: D
Đầu tiên, ta tính định thức của ma trận A: \(\begin{aligned} \det(A) &= i \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2+i & 3 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2+i & 0 \end{vmatrix} \\ &= i(-3 - 0) - (3 - (2+i)) + (0 - (-1)(2+i)) \\ &= -3i - (1-i) + (2+i) \\ &= -3i - 1 + i + 2 + i \\ &= 1 - i \end{aligned}\) Ta có det(A) = 1 - i. Bây giờ, ta cần tìm số nguyên dương nhỏ nhất m sao cho det(Am) là một số thực. Ta biết rằng det(Am) = (det(A))m = (1 - i)m. Ta cần tìm m nhỏ nhất sao cho (1 - i)m là một số thực. Ta chuyển 1 - i về dạng lượng giác: \(1 - i = \sqrt{2} \left( \cos{\frac{-\pi}{4}} + i \sin{\frac{-\pi}{4}} \right)\) Áp dụng công thức De Moivre, ta có: \((1 - i)^m = (\sqrt{2})^m \left( \cos{\frac{-m\pi}{4}} + i \sin{\frac{-m\pi}{4}} \right)\) Để (1 - i)m là một số thực, phần ảo phải bằng 0, tức là sin(-mπ/4) = 0. Điều này xảy ra khi -mπ/4 = kπ, với k là một số nguyên. Vậy, -m/4 = k, hay m = -4k. Vì m là số nguyên dương nhỏ nhất, ta chọn k = -1, suy ra m = 4. Vậy, m = 4 là số nguyên dương nhỏ nhất để det(Am) là một số thực.
Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!
