Tìm bậc của f(x), biết \(f(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&x&3\\ { - 2}&5&{{x^3}}&4\\ 4&2&{2x}&6\\ 5&{

Câu 29:

Tính định thức của ma trận: \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&3&{ - 1}\\ 3&{ - 1}&7&{ - 2}\\ 4&0&{ - 1}&1\\ 5&0&{10}&{ - 3} \end{array}} \right]\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tính định thức của ma trận A, ta có thể sử dụng phương pháp khai triển theo dòng hoặc cột. Ở đây, ta thấy cột thứ hai có nhiều số 0, nên khai triển theo cột này sẽ đơn giản hơn.

Định thức của A sẽ là:

det(A) = 1 * C_{12} + (-1) * C_{22} + 0 * C_{32} + 0 * C_{42}
= C_{12} - C_{22}

Trong đó, C_{ij} là phần bù đại số của phần tử a_{ij}.

Tính C_{12}:
C_{12} = (-1)^(1+2) * det(M_{12}), với M_{12} là ma trận con bỏ đi dòng 1 và cột 2 của A.
M_{12} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
3&7&{ - 2}\\
4&{ - 1}&1\\
5&{10}&{ - 3}
\end{array}} \right]

det(M_{12}) = 3((-1)*(-3) - 1*10) - 7(4*(-3) - 1*5) + (-2)(4*10 - (-1)*5)
= 3(3 - 10) - 7(-12 - 5) - 2(40 + 5)
= 3(-7) - 7(-17) - 2(45)
= -21 + 119 - 90
= 8

Vậy C_{12} = (-1)^(1+2) * 8 = -8

Tính C_{22}:
C_{22} = (-1)^(2+2) * det(M_{22}), với M_{22} là ma trận con bỏ đi dòng 2 và cột 2 của A.
M_{22} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&3&{ - 1}\\
4&{ - 1}&1\\
5&{10}&{ - 3}
\end{array}} \right]

det(M_{22}) = 2((-1)*(-3) - 1*10) - 3(4*(-3) - 1*5) + (-1)(4*10 - (-1)*5)
= 2(3 - 10) - 3(-12 - 5) - 1(40 + 5)
= 2(-7) - 3(-17) - 1(45)
= -14 + 51 - 45
= -8

Vậy C_{22} = (-1)^(2+2) * (-8) = -8

Do đó, det(A) = C_{12} - C_{22} = -8 - (-8) = -8 + 8 = 0

Vậy định thức của ma trận A là 0.

Câu 30:

Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&{ - 1} \end{array}} \right]\) và \(f(x) = 2{x^2} + 4x - 3\). Tính định thức của ma trận f(A).

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có ma trận A là ma trận tam giác trên, nên các giá trị riêng của A là các phần tử trên đường chéo chính: 1, 1, -1.
Khi đó, các giá trị riêng của f(A) là f(1), f(1), f(-1).
Ta có:
f(1) = 2*(1)^2 + 4*1 - 3 = 2 + 4 - 3 = 3
f(-1) = 2*(-1)^2 + 4*(-1) - 3 = 2 - 4 - 3 = -5
Vậy các giá trị riêng của f(A) là 3, 3, -5.
Định thức của ma trận f(A) bằng tích các giá trị riêng của nó. Do đó:
det(f(A)) = 3 * 3 * (-5) = -45
Vậy đáp án đúng là -45.

Câu 31:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau có nghiệm khác không \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 2z = 0\\ x + 3y + 2z + 2t = 0\\ x + 2y + z + 2t = 0\\ x + y + z + mt = 0 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để hệ phương trình có nghiệm khác không, định thức của ma trận hệ số phải bằng 0. Ta lập ma trận hệ số A:

\(A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 0 \\
1 & 3 & 2 & 2 \\
1 & 2 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 1 & m
\end{bmatrix}\)

Tính định thức của A. Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đơn giản ma trận:
R2 = R2 - R1, R3 = R3 - R1, R4 = R4 - R1

\(A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & -1 & 2 \\
0 & -1 & -1 & m
\end{bmatrix}\)

R4 = R4 + R2

\(A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & -1 & m+2
\end{bmatrix}\)

R4 = R4 - R3
\(A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & m
\end{bmatrix}\)

Định thức của A là: det(A) = 1 * 1 * (-1) * m = -m

Để hệ có nghiệm khác không thì det(A) = 0 => -m = 0 => m = 0.
Vậy m = 0 thì hệ phương trình có nghiệm khác không.

Câu 32:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau vô số nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + 2z = 2{\rm{ }}\\ 2x + y + 3z = 5{\rm{ }}\\ 3x + my + 7z = m + 2 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để hệ phương trình có vô số nghiệm, hạng của ma trận hệ số phải bằng hạng của ma trận bổ sung và nhỏ hơn số ẩn (ở đây là 3). Ta xét ma trận hệ số mở rộng:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&2\\
2&1&3&5\\
3&m&7&{m + 2}
\end{array}} \right]\)

Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng:

* \({R_2} \to {R_2} - 2{R_1}\)
* \({R_3} \to {R_3} - 3{R_1}\)

Ta được:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&2\\
0&{ - 1}&{ - 1}&1\\
0&{m - 3}&1&{m - 4}
\end{array}} \right]\)

Tiếp tục biến đổi \({R_3} \to {R_3} + (m - 3){R_2}\), ta được:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&2\\
0&{ - 1}&{ - 1}&1\\
0&0&{ - m + 4}&{2m - 7}
\end{array}} \right]\)

Để hệ có vô số nghiệm, ta cần:

\(\left\{ \begin{array}{l}
- m + 4 = 0{\rm{ }}\\
2m - 7 = 0
\end{array} \right.\)

Tuy nhiên, không có giá trị m nào thỏa mãn cả hai điều kiện trên. Vậy, không tồn tại m để hệ có vô số nghiệm.

Câu 33:

Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường?

\(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + z = 0{\rm{ }}\\ 2x + y + 3z = 0{\rm{ }}\\ 3x + 3y + mz = 0 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường (khác nghiệm (0, 0, 0)), định thức của ma trận hệ số phải bằng 0.
Ma trận hệ số của hệ phương trình là:

\(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & m \end{bmatrix}\)

Tính định thức của ma trận này:

\(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & m \end{vmatrix} = 1(m - 9) - 2(2m - 9) + 1(6 - 3) = m - 9 - 4m + 18 + 3 = -3m + 12\)

Để hệ có nghiệm không tầm thường, định thức phải bằng 0:

\(-3m + 12 = 0 \Rightarrow 3m = 12 \Rightarrow m = 4\)

Vậy, giá trị của m là 4.

Câu 34:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau tương đương:

\(\left\{ \begin{array}{l} x + y + z + 2t = 1{\rm{ }}\\ x + 3y + 4z + 5t = 3{\rm{ }}\\ 3x + 2y + 2z + 7t = 5 \end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 3z + 3t = 2{\rm{ }}\\ 2x + y + z{\rm{ }} + {\rm{ }}5t = 4{\rm{ }}\\ 5x + 4y + 4z + 11t = 7{\rm{ }}\\ 3x + 6y + 9z + mt = 6 \end{array} \right.\)

Lời giải: