Tìm tất cả m để hệ phương trình sau có nghiệm khác không \(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {{\rm{ }}3{\rm{ }} - {\rm{ }}m} \right){\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y{\rm{ }} - {\rm{ }}5z{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}5y{\rm{ }} + {\rm{ }}mz{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \end{array} \right.\)

Để họ M sinh ra không gian có chiều là 3, tức là M phải là một cơ sở của R₃. Điều này xảy ra khi và chỉ khi các vectơ trong M độc lập tuyến tính.

Ta xét định thức của ma trận tạo bởi các vectơ trong M:

\(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 4 \\ 3 & 6 & m \end{vmatrix} = 1\begin{vmatrix} 4 & 4 \\ 6 & m \end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & m \end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} = (4m - 24) - 2(2m - 12) + 3(12 - 12) = 4m - 24 - 4m + 24 + 0 = 0\)

Nhận thấy rằng định thức này luôn bằng 0 với mọi giá trị của m. Điều này có nghĩa là các vectơ trong M luôn phụ thuộc tuyến tính, và do đó không thể sinh ra không gian có chiều là 3.

Vậy không tồn tại giá trị m nào để M sinh ra không gian có chiều là 3.

Let's calculate the determinant of A by expanding along the third column:

\(\det(A) = a \begin{vmatrix} 2 & 0 & 6 \\ 6 & 1 & 3 \\ 5 & 5 & 5 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 2 & 0 & 6 \\ 6 & 1 & 3 \\ 9 & 0 & 4 \end{vmatrix}\)

\(\det(A) = a[2(5) - 0 + 6(30-5)] - 2[2(4) - 0 + 6(-9)]\)

\(\det(A) = a(10+150) - 2(8-54)\)

\(\det(A) = 160a - 2(-46)\)

\(\det(A) = 160a + 92\)

We want \(\det(A)\) to be divisible by 17. Therefore, \(160a + 92 \equiv 0 \pmod{17}\).

\(160 = 17 \cdot 9 + 7\), so \(160 \equiv 7 \pmod{17}\).

\(92 = 17 \cdot 5 + 7\), so \(92 \equiv 7 \pmod{17}\).

Therefore, \(7a + 7 \equiv 0 \pmod{17}\).

\(7(a+1) \equiv 0 \pmod{17}\).

Since 7 and 17 are relatively prime, \(a+1 \equiv 0 \pmod{17}\).

\(a \equiv -1 \pmod{17}\).

\(a \equiv 16 \pmod{17}\).

However, a must be one of the numbers {2, 3, 4, 7}. Checking these options:

If a = 2, \(160(2) + 92 = 320 + 92 = 412 = 17 \cdot 24 + 4\), so \(412 \not\equiv 0 \pmod{17}\).

If a = 3, \(160(3) + 92 = 480 + 92 = 572 = 17 \cdot 33 + 11\), so \(572 \not\equiv 0 \pmod{17}\).

If a = 4, \(160(4) + 92 = 640 + 92 = 732 = 17 \cdot 43 + 1\), so \(732 \not\equiv 0 \pmod{17}\).

If a = 7, \(160(7) + 92 = 1120 + 92 = 1212 = 17 \cdot 71 + 5\), so \(1212 \not\equiv 0 \pmod{17}\).

There must be an error in the initial setup of the problem or the possible values of a.

Let's check the determinant calculation again:

\(\begin{vmatrix} 2 & 0 & 6 \\ 6 & 1 & 3 \\ 5 & 5 & 5 \end{vmatrix} = 2(5-15) - 0 + 6(30-5) = -20 + 150 = 130\)

\(\begin{vmatrix} 2 & 0 & 6 \\ 6 & 1 & 3 \\ 9 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 2(4-0) - 0 + 6(0-9) = 8 - 54 = -46\)

\(\det(A) = 130a - 2(-46) = 130a + 92\)

\(130 \equiv 11 \pmod{17}\), \(92 \equiv 7 \pmod{17}\)

\(11a + 7 \equiv 0 \pmod{17}\)

\(33a + 21 \equiv 0 \pmod{17}\)

\(-a + 4 \equiv 0 \pmod{17}\)

\(a \equiv 4 \pmod{17}\)

So, a = 4.