Trong R₃ cho họ M = {(1, 2, 3), (2, 4, 6), (3, 4, m)}. Với giá trị nào của m thì M sinh ra không gian có chiều là 3?

Let's calculate the determinant of A by expanding along the third column:

\(\det(A) = a \begin{vmatrix} 2 & 0 & 6 \\ 6 & 1 & 3 \\ 5 & 5 & 5 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 2 & 0 & 6 \\ 6 & 1 & 3 \\ 9 & 0 & 4 \end{vmatrix}\)

\(\det(A) = a[2(5) - 0 + 6(30-5)] - 2[2(4) - 0 + 6(-9)]\)

\(\det(A) = a(10+150) - 2(8-54)\)

\(\det(A) = 160a - 2(-46)\)

\(\det(A) = 160a + 92\)

We want \(\det(A)\) to be divisible by 17. Therefore, \(160a + 92 \equiv 0 \pmod{17}\).

\(160 = 17 \cdot 9 + 7\), so \(160 \equiv 7 \pmod{17}\).

\(92 = 17 \cdot 5 + 7\), so \(92 \equiv 7 \pmod{17}\).

Therefore, \(7a + 7 \equiv 0 \pmod{17}\).

\(7(a+1) \equiv 0 \pmod{17}\).

Since 7 and 17 are relatively prime, \(a+1 \equiv 0 \pmod{17}\).

\(a \equiv -1 \pmod{17}\).

\(a \equiv 16 \pmod{17}\).

However, a must be one of the numbers {2, 3, 4, 7}. Checking these options:

If a = 2, \(160(2) + 92 = 320 + 92 = 412 = 17 \cdot 24 + 4\), so \(412 \not\equiv 0 \pmod{17}\).

If a = 3, \(160(3) + 92 = 480 + 92 = 572 = 17 \cdot 33 + 11\), so \(572 \not\equiv 0 \pmod{17}\).

If a = 4, \(160(4) + 92 = 640 + 92 = 732 = 17 \cdot 43 + 1\), so \(732 \not\equiv 0 \pmod{17}\).

If a = 7, \(160(7) + 92 = 1120 + 92 = 1212 = 17 \cdot 71 + 5\), so \(1212 \not\equiv 0 \pmod{17}\).

There must be an error in the initial setup of the problem or the possible values of a.

Let's check the determinant calculation again:

\(\begin{vmatrix} 2 & 0 & 6 \\ 6 & 1 & 3 \\ 5 & 5 & 5 \end{vmatrix} = 2(5-15) - 0 + 6(30-5) = -20 + 150 = 130\)

\(\begin{vmatrix} 2 & 0 & 6 \\ 6 & 1 & 3 \\ 9 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 2(4-0) - 0 + 6(0-9) = 8 - 54 = -46\)

\(\det(A) = 130a - 2(-46) = 130a + 92\)

\(130 \equiv 11 \pmod{17}\), \(92 \equiv 7 \pmod{17}\)

\(11a + 7 \equiv 0 \pmod{17}\)

\(33a + 21 \equiv 0 \pmod{17}\)

\(-a + 4 \equiv 0 \pmod{17}\)

\(a \equiv 4 \pmod{17}\)

So, a = 4.

Ta có \(A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0&0\\ 2&3&0\\ 3&1&1 \end{array}} \right)\). Tính định thức của A: det(A) = 2*(3*1 - 0*1) - 0 + 0 = 6. Vì det(A) khác 0 nên A khả nghịch.

Ma trận nghịch đảo của A có dạng:

\(A^{-1} = \frac{1}{det(A)} adj(A)\)

Trong đó adj(A) là ma trận chuyển vị của ma trận các cofactor của A.

Tính các cofactor:

C±± = (3*1 - 0*1) = 3

C±² = -(2*1 - 0*3) = -2

C±³ = (2*1 - 3*3) = -7

C²± = -(0*1 - 0*1) = 0

C²² = (2*1 - 0*3) = 2

C²³ = -(2*1 - 0*3) = -2

C³± = (0*0 - 3*0) = 0

C³² = -(2*0 - 2*0) = 0

C³³ = (2*3 - 2*0) = 6

Ma trận các cofactor:

\(\begin{pmatrix} 3 & -2 & -7 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}\)

Ma trận chuyển vị của ma trận các cofactor:

\(adj(A) = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ -7 & -2 & 6 \end{pmatrix}\)

\(A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ -7 & -2 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ -1/3 & 1/3 & 0 \\ -7/6 & -1/3 & 1 \end{pmatrix}\)

Vậy M = {1/2, 0, -1/3, 1/3, 0, -7/6, -1/3, 1}. Kiểm tra các đáp án:

Đáp án 1: -1, -1/6, 1/3 (Sai)

Đáp án 2: 6, 3, 2 (Sai)

Đáp án 3: -1, 1/6, 1/3 (Sai)

Đáp án 4: 1/2, 1, 1/3 (Đúng)

Phương trình ma trận AX = B, với det(A) ≠ 0, có nghiệm duy nhất là X = A^-1B.

Ta có:

AX = B

Nhân A^-1 vào cả hai vế từ bên trái:

A^-1AX = A^-1B

IX = A^-1B

X = A^-1B

Vậy đáp án đúng là không có trong các lựa chọn đã cho.