Cho M = {(1,1,1,1), (-1,0,2,-3), (3,3,1,0)}

N = {(-2,4,1,1), (0,0,0,0), (3,1,7,3)}

P = {(1,1,1,1), (2,2,2,2), (3,2,0,1)}

Có thể bổ sung vào hệ nào để được cơ sở của R₄.

Ta cần tìm m sao cho vector x = (2, 1, m) thuộc không gian sinh bởi V = <(1, 1, 1); (2, -1, 3); (1, 0, 1)>.

Điều này có nghĩa là tồn tại các hệ số a, b, c sao cho:

(2, 1, m) = a(1, 1, 1) + b(2, -1, 3) + c(1, 0, 1)

Điều này dẫn đến hệ phương trình tuyến tính:

a + 2b + c = 2

a - b = 1

a + 3b + c = m

Từ phương trình thứ hai, ta có a = b + 1. Thay vào phương trình thứ nhất và thứ ba:

(b + 1) + 2b + c = 2 => 3b + c = 1

(b + 1) + 3b + c = m => 4b + c + 1 = m

Từ 3b + c = 1 suy ra c = 1 - 3b. Thay vào 4b + c + 1 = m, ta được:

4b + (1 - 3b) + 1 = m

b + 2 = m

Vậy, b = m - 2

a = b + 1 = m - 2 + 1 = m - 1

c = 1 - 3b = 1 - 3(m - 2) = 1 - 3m + 6 = 7 - 3m

Vì hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi m, nên vector x luôn thuộc V với mọi giá trị của m.

Để M sinh ra R³ thì các vector trong M phải độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở của R³. Vì R³ có số chiều là 3, ta cần ít nhất 3 vector độc lập tuyến tính để sinh ra R³. Trong M có 4 vector, do đó ta cần kiểm tra khi nào 3 vector trong M độc lập tuyến tính.

Ta xét 3 vector đầu tiên của M: (1, 1, 1), (1, 2, 3), (0, 1, 2).

Tính định thức của ma trận tạo bởi 3 vector này:

\(\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 3 & 2
\end{vmatrix} = 1(4-3) - 1(2-1) + 0 = 1 - 1 = 0\)

Vì định thức bằng 0, 3 vector này không độc lập tuyến tính. Tuy nhiên, chúng vẫn có thể sinh ra R³ nếu vector thứ 4 phụ thuộc tuyến tính vào 3 vector đầu tiên, hoặc nếu có một bộ 3 vector khác độc lập tuyến tính.

Để M sinh ra R³ thì hệ các vector phải có hạng bằng 3. Xét ma trận tạo bởi các vector trong M:

\(\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 2 & k
\end{bmatrix}\)

Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng:

\(\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 2 & k
\end{bmatrix}\) (H2 - H1)

\(\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & k-4
\end{bmatrix}\) (H3 - H2, H4 - 2H2)

Để hạng của ma trận bằng 3, ta cần k - 4 ≠ 0, tức là k ≠ 4.

Vì M = {x, y, z} là tập độc lập tuyến tính và t không là tổ hợp tuyến tính của M, điều này có nghĩa là {x, y, z, t} là một tập độc lập tuyến tính. Do đó, hạng của tập này là 4. Xét phương án 3, tổ hợp tuyến tính {x + y, x − y, z, t} vẫn độc lập tuyến tính (vì x, y độc lập tuyến tính nên x+y và x-y độc lập tuyến tính, và z, t độc lập tuyến tính với x, y). Vì vậy, hạng của {x + y, x − y, z, t} bằng 4. Phương án 1 sai vì {x, y, z + t, z − t} có hạng bằng 4, không phải 3. Phương án 4 sai vì x không thể biểu diễn qua y, z, t do {x, y, z, t} độc lập tuyến tính. Phương án 2 sai vì phương án 3 đúng.

Vì V là không gian vector có số chiều bằng 3, và {x, y} độc lập tuyến tính, z không là tổ hợp tuyến tính của {x, y}, suy ra {x, y, z} là một cơ sở của V. 

Xét đáp án 1: x + y, x − y, x + y + 3z là cơ sở của V. Ta cần kiểm tra tính độc lập tuyến tính của hệ này. 

Giả sử a(x + y) + b(x − y) + c(x + y + 3z) = 0. Khi đó (a + b + c)x + (a − b + c)y + 3cz = 0.

Vì {x, y, z} là cơ sở của V nên độc lập tuyến tính. Do đó a + b + c = 0, a − b + c = 0, 3c = 0.

Suy ra c = 0, a + b = 0, a − b = 0. Vậy a = b = c = 0. Vậy hệ {x + y, x − y, x + y + 3z} độc lập tuyến tính. Vì V có số chiều bằng 3, nên hệ này là một cơ sở của V. 

Đáp án 2 sai vì {x, y, z} là cơ sở của V nên nó sinh ra V.

Đáp án 3 sai vì V =< x, y, x + 2y > chỉ là một không gian con có số chiều tối đa là 2, do x + 2y là tổ hợp tuyến tính của x và y.

Vậy đáp án đúng là đáp án 1.