Cho M = {(1,1,1,1), (-1,0,2,-3), (3,3,1,0)}

N = {(-2,4,1,1), (0,0,0,0), (3,1,7,3)}

P = {(1,1,1,1), (2,2,2,2), (3,2,0,1)}

Có thể bổ sung vào hệ nào để được cơ sở của R₄.

V là không gian sinh bởi các vectơ (1, 1, 1), (2, -1, 3) và (1, 0, 1). Để x = (2, 1, m) thuộc V, x phải biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ sinh. Tức là, tồn tại các số a, b, c sao cho:
(2, 1, m) = a(1, 1, 1) + b(2, -1, 3) + c(1, 0, 1)
Điều này dẫn đến hệ phương trình:
a + 2b + c = 2
a - b = 1
a + 3b + c = m

Từ phương trình thứ hai, ta có a = b + 1. Thay vào phương trình thứ nhất và thứ ba:
(b + 1) + 2b + c = 2 => 3b + c = 1
(b + 1) + 3b + c = m => 4b + c + 1 = m

Từ 3b + c = 1 suy ra c = 1 - 3b. Thay vào 4b + c + 1 = m:
4b + (1 - 3b) + 1 = m => b + 2 = m => b = m - 2
Khi đó, a = b + 1 = m - 2 + 1 = m - 1
c = 1 - 3b = 1 - 3(m - 2) = 1 - 3m + 6 = 7 - 3m

Vậy, với mọi giá trị của m, ta đều có thể tìm được a, b, c thỏa mãn. Do đó, x thuộc V với mọi m.

Để M sinh ra R^3, ta cần M chứa một cơ sở của R^3. Điều này có nghĩa là phải có 3 vector độc lập tuyến tính trong M. Vì (1,1,1), (1,2,3), (0,1,2) đã là 3 vector độc lập tuyến tính (dễ dàng kiểm tra bằng định thức khác 0 của ma trận tạo bởi 3 vector này), nên (0,2,k) phải phụ thuộc tuyến tính vào 3 vector này để M không sinh ra R^3. Tuy nhiên, do 3 vector (1,1,1), (1,2,3), (0,1,2) đã độc lập tuyến tính, nên nếu (0,2,k) làm cho 4 vector này độc lập tuyến tính, thì M sẽ sinh ra R^3. Ngược lại, nếu (0,2,k) phụ thuộc tuyến tính vào 3 vector kia thì M không sinh ra R^3. Ta xét định thức của ma trận tạo bởi 3 vector (1,1,1), (1,2,3), (0,1,2) và (0,2,k):\nXét ma trận A = [[1, 1, 1], [1, 2, 3], [0, 1, 2]]\n det(A) = 1*(4-3) - 1*(2-0) + 1*(1-0) = 1 - 2 + 1 = 0\nNhận thấy rằng (1,2,3) = (1,1,1) + (0,1,2). Vì vậy, 3 vector này không độc lập tuyến tính.\nĐể M sinh ra R^3 thì 3 vector (1,1,1), (1,2,3), (0,1,2) phải độc lập tuyến tính, tức là det([[1,1,1],[1,2,3],[0,1,2]]) != 0. Tuy nhiên, det([[1,1,1],[1,2,3],[0,1,2]]) = 1*(4-3)-1*(2-0)+1*(1-0) = 1-2+1 = 0. Do đó (1,1,1), (1,2,3), (0,1,2) không độc lập tuyến tính và không tạo thành cơ sở của R^3.\nĐể M sinh ra R^3, ta cần (0,2,k) không thuộc span{(1,1,1),(1,2,3),(0,1,2)}. Gọi v1=(1,1,1), v2=(1,2,3), v3=(0,1,2). Nhận thấy v2=v1+v3. Do đó span{v1,v2,v3} = span{v1,v3}.\nXét hệ phương trình a(1,1,1)+b(0,1,2) = (0,2,k). Ta có a=0, a+b=2, a+2b=k => b=2, k=4. Vậy nếu k=4 thì (0,2,k) thuộc span{v1,v2,v3}.\nĐể M sinh ra R^3 thì k phải khác 4.

Vì V có số chiều bằng 3, và {x, y} độc lập tuyến tính, z không là tổ hợp tuyến tính của {x, y}, suy ra {x, y, z} độc lập tuyến tính. Do đó, {x, y, z} là một cơ sở của V.

Xét đáp án 1: x + y, x − y, x + y + 3z là cơ sở của V. Ta cần kiểm tra xem ba vector này có độc lập tuyến tính không. Giả sử a(x+y) + b(x-y) + c(x+y+3z) = 0. Điều này tương đương với (a+b+c)x + (a-b+c)y + 3cz = 0. Vì {x, y, z} độc lập tuyến tính, ta có hệ phương trình: a+b+c = 0, a-b+c = 0, 3c = 0. Giải hệ này, ta được c = 0, a + b = 0, a - b = 0. Suy ra a = 0 và b = 0. Vậy a = b = c = 0, tức là ba vector độc lập tuyến tính. Do đó, x + y, x − y, x + y + 3z là cơ sở của V.

Xét đáp án 2: {x, y, z} không sinh ra V. Điều này sai vì {x, y, z} là cơ sở của V nên chắc chắn sinh ra V.

Xét đáp án 3: V =< x, y, x + 2y >. Điều này sai vì x + 2y là tổ hợp tuyến tính của x và y, nên không gian sinh bởi {x, y, x + 2y} chỉ là không gian sinh bởi {x, y}, có số chiều là 2, không thể bằng V có số chiều 3.

Vậy, đáp án đúng là đáp án 1.

Vì {x, y} là họ độc lập tuyến tính cực đại của V = , điều này có nghĩa là mọi vector trong V đều có thể biểu diễn tuyến tính qua x và y. Hay nói cách khác, z và t đều là tổ hợp tuyến tính của x và y. Như vậy:

* Phương án 1: x, y, x + y + z sinh ra V là đúng vì z là tổ hợp tuyến tính của x và y, do đó x + y + z cũng chỉ là tổ hợp tuyến tính của x và y.
* Phương án 2: {x, y, t} độc lập tuyến tính là sai vì t là tổ hợp tuyến tính của x và y, nên {x, y, t} phụ thuộc tuyến tính.
* Phương án 3: {x, t} phụ thuộc tuyến tính là sai vì t là tổ hợp tuyến tính của x và y, nhưng không nhất thiết là tổ hợp tuyến tính của x. Ví dụ: t = x + y.
* Phương án 4: {z} không là tổ hợp tuyến tính của {x, y} là sai vì z là tổ hợp tuyến tính của x và y.

Vậy, phương án đúng là phương án 1.