Cho V =<(1 , 1 ,1) ; (2, −1 , 3) ; (1 , 0,1)>. Với giá trị nào của m thì \(x = ( 2, 1, m) ∈ V\).

Để M sinh ra R^3, ta cần M chứa một cơ sở của R^3. Điều này có nghĩa là phải có 3 vector độc lập tuyến tính trong M. Vì (1,1,1), (1,2,3), (0,1,2) đã là 3 vector độc lập tuyến tính (dễ dàng kiểm tra bằng định thức khác 0 của ma trận tạo bởi 3 vector này), nên (0,2,k) phải phụ thuộc tuyến tính vào 3 vector này để M không sinh ra R^3. Tuy nhiên, do 3 vector (1,1,1), (1,2,3), (0,1,2) đã độc lập tuyến tính, nên nếu (0,2,k) làm cho 4 vector này độc lập tuyến tính, thì M sẽ sinh ra R^3. Ngược lại, nếu (0,2,k) phụ thuộc tuyến tính vào 3 vector kia thì M không sinh ra R^3. Ta xét định thức của ma trận tạo bởi 3 vector (1,1,1), (1,2,3), (0,1,2) và (0,2,k):\nXét ma trận A = [[1, 1, 1], [1, 2, 3], [0, 1, 2]]\n det(A) = 1*(4-3) - 1*(2-0) + 1*(1-0) = 1 - 2 + 1 = 0\nNhận thấy rằng (1,2,3) = (1,1,1) + (0,1,2). Vì vậy, 3 vector này không độc lập tuyến tính.\nĐể M sinh ra R^3 thì 3 vector (1,1,1), (1,2,3), (0,1,2) phải độc lập tuyến tính, tức là det([[1,1,1],[1,2,3],[0,1,2]]) != 0. Tuy nhiên, det([[1,1,1],[1,2,3],[0,1,2]]) = 1*(4-3)-1*(2-0)+1*(1-0) = 1-2+1 = 0. Do đó (1,1,1), (1,2,3), (0,1,2) không độc lập tuyến tính và không tạo thành cơ sở của R^3.\nĐể M sinh ra R^3, ta cần (0,2,k) không thuộc span{(1,1,1),(1,2,3),(0,1,2)}. Gọi v1=(1,1,1), v2=(1,2,3), v3=(0,1,2). Nhận thấy v2=v1+v3. Do đó span{v1,v2,v3} = span{v1,v3}.\nXét hệ phương trình a(1,1,1)+b(0,1,2) = (0,2,k). Ta có a=0, a+b=2, a+2b=k => b=2, k=4. Vậy nếu k=4 thì (0,2,k) thuộc span{v1,v2,v3}.\nĐể M sinh ra R^3 thì k phải khác 4.

Vì V có số chiều bằng 3, và {x, y} độc lập tuyến tính, z không là tổ hợp tuyến tính của {x, y}, suy ra {x, y, z} độc lập tuyến tính. Do đó, {x, y, z} là một cơ sở của V.

Xét đáp án 1: x + y, x − y, x + y + 3z là cơ sở của V. Ta cần kiểm tra xem ba vector này có độc lập tuyến tính không. Giả sử a(x+y) + b(x-y) + c(x+y+3z) = 0. Điều này tương đương với (a+b+c)x + (a-b+c)y + 3cz = 0. Vì {x, y, z} độc lập tuyến tính, ta có hệ phương trình: a+b+c = 0, a-b+c = 0, 3c = 0. Giải hệ này, ta được c = 0, a + b = 0, a - b = 0. Suy ra a = 0 và b = 0. Vậy a = b = c = 0, tức là ba vector độc lập tuyến tính. Do đó, x + y, x − y, x + y + 3z là cơ sở của V.

Xét đáp án 2: {x, y, z} không sinh ra V. Điều này sai vì {x, y, z} là cơ sở của V nên chắc chắn sinh ra V.

Xét đáp án 3: V =< x, y, x + 2y >. Điều này sai vì x + 2y là tổ hợp tuyến tính của x và y, nên không gian sinh bởi {x, y, x + 2y} chỉ là không gian sinh bởi {x, y}, có số chiều là 2, không thể bằng V có số chiều 3.

Vậy, đáp án đúng là đáp án 1.

Vì {x, y} là họ độc lập tuyến tính cực đại của V = , điều này có nghĩa là mọi vector trong V đều có thể biểu diễn tuyến tính qua x và y. Hay nói cách khác, z và t đều là tổ hợp tuyến tính của x và y. Như vậy:

* Phương án 1: x, y, x + y + z sinh ra V là đúng vì z là tổ hợp tuyến tính của x và y, do đó x + y + z cũng chỉ là tổ hợp tuyến tính của x và y.
* Phương án 2: {x, y, t} độc lập tuyến tính là sai vì t là tổ hợp tuyến tính của x và y, nên {x, y, t} phụ thuộc tuyến tính.
* Phương án 3: {x, t} phụ thuộc tuyến tính là sai vì t là tổ hợp tuyến tính của x và y, nhưng không nhất thiết là tổ hợp tuyến tính của x. Ví dụ: t = x + y.
* Phương án 4: {z} không là tổ hợp tuyến tính của {x, y} là sai vì z là tổ hợp tuyến tính của x và y.

Vậy, phương án đúng là phương án 1.

Gọi tọa độ của vecto p(x) trong cơ sở E là (a, b). Khi đó, ta có:

\(p(x) = a(x^2 + 2x + 1) + b(2x^2 + x + 3)\)
\(p(x) = (a + 2b)x^2 + (2a + b)x + (a + 3b)\)

Theo đề bài, \(p(x) = -x^2 + 7x - 2\). Do đó, ta có hệ phương trình:

\begin{cases} a + 2b = -1 \\ 2a + b = 7 \\ a + 3b = -2 \\ \end{cases} \)

Giải hệ phương trình này, ta tìm được a = 5 và b = -3.

Vậy, tọa độ của vecto p(x) trong cơ sở E là (5, -3).