Cho \(E = {x^2 + 2x + 1 ,2x^2 + x + 3}\) là cơ sở của không gian vecto thực V. Tìm tọa độ của vecto \(p( x) = −x^2 + 7x − 2\) trong cơ sở E.

Ta có AX = D1 và AX = D2. Do đó, X1 = A^(-1)D1 và X2 = A^(-1)D2. Vậy X1 - X2 = A^(-1)D1 - A^(-1)D2 = A^(-1)(D1 - D2).
D1 - D2 = (5, 6) - (5, 9) = (0, -3).
Tính A^(-1):
Định thức của A là det(A) = (1 * 9) - (2 * 3) = 9 - 6 = 3.
Ma trận nghịch đảo của A là:
A^(-1) = (1/3) * (9 -2, -3 1) = (3 -2/3, -1 1/3).
Vậy X1 - X2 = (3 -2/3, -1 1/3) * (0, -3) = ( (3 * 0) + (-2/3 * -3), (-1 * 0) + (1/3 * -3)) = (0 + 2, 0 - 1) = (2, -1).
Vậy X1 - X2 = (2, -1).

Để một tập hợp con của R^3 là một không gian con, nó phải thỏa mãn hai điều kiện:
1. Chứa vector 0 (gốc tọa độ).
2. Đóng với phép cộng vector và phép nhân với một số vô hướng.

Xét W1 = {(x, y, 1) / x = 2y}. Vì z luôn bằng 1, vector (0, 0, 0) không thuộc W1. Do đó, W1 không phải là không gian con của R^3.

Xét W2 = {(x, y, z) / z = 2x - y}. Kiểm tra điều kiện:
- Vector 0: Nếu x = 0, y = 0 thì z = 2(0) - 0 = 0. Vậy (0, 0, 0) thuộc W2.
- Phép cộng: Giả sử (x1, y1, z1) và (x2, y2, z2) thuộc W2. Khi đó z1 = 2x1 - y1 và z2 = 2x2 - y2. Ta có (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2). Kiểm tra xem z1 + z2 = 2(x1 + x2) - (y1 + y2)? Ta có z1 + z2 = (2x1 - y1) + (2x2 - y2) = 2(x1 + x2) - (y1 + y2). Vậy (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) thuộc W2.
- Phép nhân với một số vô hướng: Giả sử (x, y, z) thuộc W2 và c là một số vô hướng. Khi đó z = 2x - y. Xét vector (cx, cy, cz). Kiểm tra xem cz = 2(cx) - (cy)? Ta có cz = c(2x - y) = 2(cx) - (cy). Vậy (cx, cy, cz) thuộc W2.
Vậy W2 là không gian con của R^3.

Xét W3 = {(x, y, z) / x + y + z = 0}. Kiểm tra điều kiện:
- Vector 0: Nếu x = 0, y = 0 thì z = 0. Vậy (0, 0, 0) thuộc W3.
- Phép cộng: Giả sử (x1, y1, z1) và (x2, y2, z2) thuộc W3. Khi đó x1 + y1 + z1 = 0 và x2 + y2 + z2 = 0. Ta có (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2). Kiểm tra xem (x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) = 0? Ta có (x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) = (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) = 0 + 0 = 0. Vậy (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) thuộc W3.
- Phép nhân với một số vô hướng: Giả sử (x, y, z) thuộc W3 và c là một số vô hướng. Khi đó x + y + z = 0. Xét vector (cx, cy, cz). Kiểm tra xem cx + cy + cz = 0? Ta có cx + cy + cz = c(x + y + z) = c(0) = 0. Vậy (cx, cy, cz) thuộc W3.
Vậy W3 là không gian con của R^3.

Vậy W2 và W3 là không gian con của R^3.

\(\sqrt{4}\) trong trường số phức cũng tương tự như trong trường số thực. Số 4 là một số thực dương, và căn bậc hai của nó là 2 và -2. Vậy, z₁ = 2 và z₂ = -2.

Ta có (-1 + i) = \(\sqrt{2}\)(cos(3π/4) + i sin(3π/4)).

Do đó, (-1 + i)^n = (\(\sqrt{2}\))^n (cos(3nπ/4) + i sin(3nπ/4)).

Để (-1 + i)^n là một số thực, ta cần sin(3nπ/4) = 0.

Điều này xảy ra khi 3nπ/4 = kπ, với k là một số nguyên.

Suy ra 3n = 4k, hay n = (4/3)k.

Vì n là một số nguyên dương nhỏ nhất, ta chọn k = 3, suy ra n = 4.

Vậy, n = 4 là số nguyên dương nhỏ nhất để (-1 + i)^n là một số thực.

Ta có:
\(z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{1 + i} = \frac{(1 + i\sqrt{3})(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 + \sqrt{3} + i(\sqrt{3} - 1)}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} + i\frac{\sqrt{3} - 1}{2}\)
Gọi \(\varphi\) là argument của z. Ta có:
\(\tan(\varphi) = \frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{2}}{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{3 - 1} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}\)
Vì \(\tan(\frac{\pi}{12}) = 2 - \sqrt{3}\), nên \(\varphi = \frac{\pi}{12}\).
Số phức \(1 + i\sqrt{3}\) có argument là \(\frac{\pi}{3}\)
Số phức \(1 + i\) có argument là \(\frac{\pi}{4}\)
Vậy argument của z là \(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}\)
Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng khớp, đáp án gần nhất là \(\frac{7\pi}{12}\) nhưng vẫn không đúng.
Ta có \(1 + i \sqrt{3} = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}))\)
\(1 + i = \sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{\pi}{4}))\)
\(z = \frac{2}{\sqrt{2}} (\cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4})) = \sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{12}) + i \sin(\frac{\pi}{12}))\)
Vậy argument của z là \(\frac{\pi}{12}\).
Có lẽ các đáp án đã bị sai lệch.