Tìm argument φ của số phức \(z = {\textstyle{{1 + i\sqrt 3 } \over {1 + i}}}\)
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Ta có:
\(z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{1 + i} = \frac{(1 + i\sqrt{3})(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 + \sqrt{3} + i(\sqrt{3} - 1)}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} + i\frac{\sqrt{3} - 1}{2}\)
Gọi \(\varphi\) là argument của z. Ta có:
\(\tan(\varphi) = \frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{2}}{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{3 - 1} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}\)
Vì \(\tan(\frac{\pi}{12}) = 2 - \sqrt{3}\), nên \(\varphi = \frac{\pi}{12}\).
Số phức \(1 + i\sqrt{3}\) có argument là \(\frac{\pi}{3}\)
Số phức \(1 + i\) có argument là \(\frac{\pi}{4}\)
Vậy argument của z là \(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}\)
Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng khớp, đáp án gần nhất là \(\frac{7\pi}{12}\) nhưng vẫn không đúng.
Ta có \(1 + i \sqrt{3} = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}))\)
\(1 + i = \sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{\pi}{4}))\)
\(z = \frac{2}{\sqrt{2}} (\cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4})) = \sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{12}) + i \sin(\frac{\pi}{12}))\)
Vậy argument của z là \(\frac{\pi}{12}\).
Có lẽ các đáp án đã bị sai lệch.
Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!
50 câu hỏi 60 phút
