Cho \(A \in {M_{3 \times 4}}\left[ {{\rm{ }}R{\rm{ }}} \right]\). Sử dụng phép biến đổi sơ cấp: Cộng vào hàng thứ 3, hàng 1 đã được nhân với số 2. Phép biến đổi trên tương đương với nhân bên trái ma trận A cho ma trận nào sau đây.

3 câu kia đều sai

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 2&0&1 \end{array}} \right]\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 2&0&1\\ 0&1&0 \end{array}} \right]\)

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ { - 2}&1&1 \end{array}} \right]\)

Trả lời:

Đáp án đúng: B

The elementary row operation "Add 2 times row 1 to row 3" corresponds to multiplying the matrix A on the left by an elementary matrix. This elementary matrix is created by performing the corresponding transformation on the 3x3 identity matrix. The 3x3 identity matrix is [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]. Performing the operation "Add 2 times row 1 to row 3" on the identity matrix results in the matrix [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [2, 0, 1]].

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 1

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 15:

Cho \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&3\\ 2&3&0&4\\ 4&{ - 2}&5&6\\ { - 1}&{k + 1}&4&{k + 5} \end{array}} \right]\). Với giá trị nào của k thì \(r(A) \ge 3\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có ma trận A là ma trận vuông cấp 4. Để tìm điều kiện của k để r(A) ≥ 3, ta cần xét định thức của A. Nếu det(A) ≠ 0 thì r(A) = 4, suy ra r(A) ≥ 3. Nếu det(A) = 0, ta cần xét các định thức con cấp 3 của A. Nếu tồn tại một định thức con cấp 3 khác 0 thì r(A) = 3, suy ra r(A) ≥ 3. Nếu tất cả các định thức con cấp 3 đều bằng 0 thì r(A) < 3.

Tính định thức của A bằng cách khai triển theo cột 3:
det(A) = 5 * det([[1, 0, 3], [2, 3, 4], [-1, k+1, k+5]])
= 5 * [1 * (3(k+5) - 4(k+1)) - 0 + 3 * (2(k+1) - 3(-1))]
= 5 * [3k + 15 - 4k - 4 + 3(2k + 2 + 3)]
= 5 * [-k + 11 + 6k + 15]
= 5 * [5k + 26]

Để det(A) ≠ 0 thì 5k + 26 ≠ 0 hay k ≠ -26/5.

Nếu k = -26/5 thì det(A) = 0 và ta cần xét các định thức con cấp 3. Tuy nhiên, để r(A) ≥ 3 thì chỉ cần tồn tại một định thức con cấp 3 khác 0.

Xét định thức con tạo bởi các hàng 1, 2, 3 và các cột 1, 2, 4:
det([[1, 0, 3], [2, 3, 4], [4, -2, 6]]) = 1(18+8) - 0 + 3(-4-12) = 26 - 48 = -22 ≠ 0

Như vậy, với mọi k thì r(A) ≥ 3.

Vậy đáp án đúng là ∀k.

Câu 16:

Cho ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&0&{ - 4}\\ 4&2&4\\ 3&2&2 \end{array}} \right)\). Số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa \(r({A^k}) = r({A^{k + 1}})\) gọi là chỉ số của ma trận A. Tìm chỉ số của ma trận A.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm chỉ số của ma trận A, ta cần tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho r(A^k) = r(A^(k+1)). Điều này có nghĩa là hạng của ma trận A^k không thay đổi khi nhân thêm A.

Ta có ma trận A như sau:

A = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&0&{ - 4}\\
4&2&4\\
3&2&2
\end{array}} \right)\)

Tính A^2:
A^2 = A * A = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&0&{ - 4}\\
4&2&4\\
3&2&2
\end{array}} \right)\) * \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&0&{ - 4}\\
4&2&4\\
3&2&2
\end{array}} \right)\) = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
-8 & -8 & -4\\
20 & 12 & 4\\
14 & 8 & 0
\end{array}} \right)\)

Tính A^3:
A^3 = A^2 * A = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
-8 & -8 & -4\\
20 & 12 & 4\\
14 & 8 & 0
\end{array}} \right)\) * \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&0&{ - 4}\\
4&2&4\\
3&2&2
\end{array}} \right)\) = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
-12 & -24 & -24\\
-4 & 32 & 0\\
-4 & 16 & -24
\end{array}} \right)\)

Để xác định hạng của các ma trận này, ta có thể sử dụng các phương pháp như biến đổi sơ cấp trên hàng hoặc cột để đưa ma trận về dạng bậc thang. Hoặc, có thể sử dụng phần mềm máy tính để tính toán hạng của các ma trận.

Hạng của A là 2 (có thể kiểm tra bằng cách biến đổi sơ cấp hoặc tính định thức của các ma trận con 2x2).
Hạng của A^2 là 2.
Hạng của A^3 là 2.

Vì r(A) = 2 và r(A^2) = 2, suy ra r(A) = r(A^2). Vậy k = 1 thỏa mãn r(A^k) = r(A^(k+1)).

Vậy chỉ số của ma trận A là 1.

Câu 17:

1- chuẩn của ma trận A là số lớn nhất trong tổng trị tuyệt đối của từng cột. Tìm 1- chuẩn của ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ - 1}&2\\ 3&7&1\\ 2&{ - 5}&4 \end{array}} \right).\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm 1-chuẩn của ma trận A, ta tính tổng trị tuyệt đối của các phần tử trong mỗi cột, sau đó chọn giá trị lớn nhất trong các tổng này.

Cột 1: |5| + |3| + |2| = 5 + 3 + 2 = 10
Cột 2: |-1| + |7| + |-5| = 1 + 7 + 5 = 13
Cột 3: |2| + |1| + |4| = 2 + 1 + 4 = 7

Giá trị lớn nhất trong các tổng là 13. Vậy, 1-chuẩn của ma trận A là 13.

Câu 18:

Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Vết của ma trận A^T.A là chuẩn Frobenius của ma trận A. Tìm chuẩn Frobenius của ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&6\\ 2&1&7\\ { - 2}&5&3 \end{array}} \right).\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có: A = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&6\\ 2&1&7\\ { - 2}&5&3 \end{array}} \right).\)

Chuẩn Frobenius của A là: \(\|A\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2}\) hay \(\|A\|_F^2 = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2\)

Tính \(\|A\|_F^2 = 3^2 + 4^2 + 6^2 + 2^2 + 1^2 + 7^2 + (-2)^2 + 5^2 + 3^2 = 9 + 16 + 36 + 4 + 1 + 49 + 4 + 25 + 9 = 153\)

Vậy \(\|A\|_F = \sqrt{153}\)

Câu 19:

Cho vecto đơn vị. Đặt I - u. u^T, vecto X = (1,-2,1)^T. Tính (I - u. u^T).X. Phép biến đổi (I - u. u^T) là phép chiếu vecto X lên mặt phẳng P là mặt phẳng qua gốc O nhận u làm vecto pháp tuyến.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Đầu tiên, ta cần chuẩn hóa vector u thành vector đơn vị. Giả sử u = (a, b, c). Vector đơn vị v sẽ là v = u / ||u||, trong đó ||u|| là độ dài của vector u.
Tiếp theo, ta tính ma trận chiếu P = I - v.v^T, với I là ma trận đơn vị 3x3.
Cuối cùng, ta tính P.X. Kết quả thu được sẽ là hình chiếu của vector X lên mặt phẳng P.

Giả sử u = (1, 1, 1) => ||u|| = sqrt(1² + 1² + 1²) = sqrt(3). Vậy v = (1/sqrt(3), 1/sqrt(3), 1/sqrt(3)).
v.v^T =

\(\begin{bmatrix}
1/3 & 1/3 & 1/3 \\
1/3 & 1/3 & 1/3 \\
1/3 & 1/3 & 1/3
\end{bmatrix}\)

I - v.v^T =

\(\begin{bmatrix}
2/3 & -1/3 & -1/3 \\
-1/3 & 2/3 & -1/3 \\
-1/3 & -1/3 & 2/3
\end{bmatrix}\)

(I - v.v^T).X =

\(\begin{bmatrix}
2/3 & -1/3 & -1/3 \\
-1/3 & 2/3 & -1/3 \\
-1/3 & -1/3 & 2/3
\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}
1 \\
-2 \\
1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
(2/3) + (2/3) - (1/3) \\
(-1/3) - (4/3) - (1/3) \\
(-1/3) + (2/3) + (2/3)
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
3/3 \\
-6/3 \\
3/3
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 \\
-2 \\
1
\end{bmatrix}\)

Với u=(1,1,1), ta nhận thấy không có đáp án nào đúng. Kiểm tra lại đề bài và các đáp án.

Nếu u = (1, -2, 1) => vector X tỉ lệ với u => hình chiếu của X lên mặt phẳng vuông góc với u là vector 0.

Vì không có thông tin gì thêm về vector u, ta không thể kết luận đáp án nào đúng.

Câu 20:

Cho \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\) là một nghiệm của \(\sqrt[n]{1}\). Ma trận vuông F_n = ( fk,j ) cấp n, với f_k,j=z^{(k−1).(j−1)} được gọi là ma trận Fourier. Phép nhân F_n . X được gọi là phép biến đổi Fourier. Tìm biến đổi Fourier của vecto X = ( 2, −1 )^T

Lời giải: