Cho \(A \in {M_{3 \times 4}}\left[ {{\rm{ }}R{\rm{ }}} \right]\). Sử dụng phép biến đổi sơ cấp: Cộng vào hàng thứ 3, hàng 1 đã được nhân với số 2. Phép biến đổi trên tương đương với nhân bên trái ma trận A cho ma trận nào sau đây.

Để tìm chỉ số của ma trận A, ta cần tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho r(A^k) = r(A^(k+1)). Điều này có nghĩa là hạng của ma trận A^k không thay đổi khi nhân thêm A. Ta có ma trận A như sau: A = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&0&{ - 4}\\ 4&2&4\\ 3&2&2 \end{array}} \right)\) Tính A^2: A^2 = A * A = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&0&{ - 4}\\ 4&2&4\\ 3&2&2 \end{array}} \right)\) * \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&0&{ - 4}\\ 4&2&4\\ 3&2&2 \end{array}} \right)\) = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} -8 & -8 & -4\\ 20 & 12 & 4\\ 14 & 8 & 0 \end{array}} \right)\) Tính A^3: A^3 = A^2 * A = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} -8 & -8 & -4\\ 20 & 12 & 4\\ 14 & 8 & 0 \end{array}} \right)\) * \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&0&{ - 4}\\ 4&2&4\\ 3&2&2 \end{array}} \right)\) = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} -12 & -24 & -24\\ -4 & 32 & 0\\ -4 & 16 & -24 \end{array}} \right)\) Để xác định hạng của các ma trận này, ta có thể sử dụng các phương pháp như biến đổi sơ cấp trên hàng hoặc cột để đưa ma trận về dạng bậc thang. Hoặc, có thể sử dụng phần mềm máy tính để tính toán hạng của các ma trận. Hạng của A là 2 (có thể kiểm tra bằng cách biến đổi sơ cấp hoặc tính định thức của các ma trận con 2x2). Hạng của A^2 là 2. Hạng của A^3 là 2. Vì r(A) = 2 và r(A^2) = 2, suy ra r(A) = r(A^2). Vậy k = 1 thỏa mãn r(A^k) = r(A^(k+1)). Vậy chỉ số của ma trận A là 1.

Ta có chuẩn Frobenius của ma trận A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&6\\ 2&1&7\\ { - 2}&5&3 \end{array}} \right).\) là căn bậc hai của tổng bình phương các phần tử của ma trận A, hay còn gọi là căn bậc hai của vết của ma trận A^TA. Do đó:

{\left| A \right|_F} = \sqrt {{3^2} + {4^2} + {6^2} + {2^2} + {1^2} + {7^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {5^2} + {3^2}} = \sqrt {9 + 16 + 36 + 4 + 1 + 49 + 4 + 25 + 9} = \sqrt {153} .

Bình phương chuẩn Frobenius của ma trận A là 153.

Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm vector pháp tuyến đơn vị u: Vì u là vector pháp tuyến của mặt phẳng P, ta cần tìm vector đơn vị của nó. Đề bài cho X = (1, -2, 1)^T, ta chuẩn hóa X để được u.

Tuy nhiên đề bài không hề nói X là vecto pháp tuyến của mặt phẳng P. Đề bài chỉ nói u là vecto pháp tuyến của mặt phẳng P. Nên ở đây ta không có u.
Vì vậy ta không thể tính được (I - u.u^T).X

Vậy đáp án đúng là 3 câu trên đều sai