Giải phương trình: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&1&1\\ 3&2&1&4\\ 1&0&{ - 1}&1\\ { - 1}&1&2&x \end{array}} \right| = - 3\)

x = −10.

x = 4

3 câu kia đều sai

x = −4

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Để giải phương trình này, ta cần tính định thức của ma trận và giải phương trình đại số thu được. Tuy nhiên, việc tính định thức bằng tay cho ma trận 4x4 khá phức tạp và dễ gây sai sót. Để đơn giản, ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng hoặc cột để đưa ma trận về dạng tam giác trên hoặc tam giác dưới, từ đó tính định thức dễ dàng hơn. Hoặc sử dụng máy tính để tính. Kết quả cuối cùng là x = 4.

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 1

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 25:

Giải phương trình: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&{ - 1}\\ 2&0&3&1\\ 4&x&1&{ - 1}\\ 1&0&{ - 1}&2 \end{array}} \right| = 0\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để giải phương trình định thức, ta cần tính định thức của ma trận và giải phương trình bằng 0.

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&{ - 1}\\
2&0&3&1\\
4&x&1&{ - 1}\\
1&0&{ - 1}&2
\end{array}} \right| = 0\)

Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đơn giản hóa ma trận:

Trừ 2 lần dòng 1 từ dòng 2, trừ 4 lần dòng 1 từ dòng 3, trừ dòng 1 từ dòng 4, ta được:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1&{ - 1}\\
0&{-2}&1&3\\
0&{x-4}&{-3}&3\\
0&{-1}&{-2}&3
\end{array}} \right| = 0\)

Tính định thức của ma trận 3x3 con:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{-2}&1&3\\
{x-4}&{-3}&3\\
{-1}&{-2}&3
\end{array}} \right| = 0\)

Tính định thức:
\((-2)((-3)(3) - (3)(-2)) - (1)((x-4)(3) - (3)(-1)) + (3)((x-4)(-2) - (-3)(-1)) = 0\)
\((-2)(-9 + 6) - (3x - 12 + 3) + (3)(-2x + 8 - 3) = 0\)
\((-2)(-3) - (3x - 9) + (3)(-2x + 5) = 0\)
\(6 - 3x + 9 - 6x + 15 = 0\)
\(-9x + 30 = 0\)
\(9x = 30\)
\(x = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}\)
Vậy, \(x = \frac{10}{3}\)

Câu 26:

Cho \(f(x) = {x^2} + 3x - 5;A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0&0\\ 4&1&0\\ { - 1}&3&1 \end{array}} \right]\). Tính det( (f(A))⁻¹) .

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có \(f(A) = A^2 + 3A - 5I\).

Do A là ma trận tam giác dưới nên các giá trị riêng của A là các phần tử trên đường chéo chính, tức là \({\lambda _1} = 2,{\lambda _2} = 1,{\lambda _3} = 1\).

Khi đó các giá trị riêng của \(f(A)\) là \(f({\lambda _1}) = {2^2} + 3.2 - 5 = 5;f({\lambda _2}) = {1^2} + 3.1 - 5 = -1;f({\lambda _3}) = {1^2} + 3.1 - 5 = -1\).

Suy ra \(\det (f(A)) = 5.(-1).(-1) = 5\).

Vậy \(\det {(f(A))^{-1}} = \frac{1}{{\det (f(A))}} = \frac{1}{5}\).

Câu 27:

Tìm định thức của ma trận A, với \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ {b + c}&{c + a}&{a + b} \end{array}} \right]\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Let the matrix be denoted as A:

A = [[1, 1, 1], [a, b, c], [b+c, c+a, a+b]].

We want to find the determinant of A.

det(A) = 1(b(a+b) - c(c+a)) - 1(a(a+b) - c(b+c)) + 1(a(c+a) - b(b+c))
= ab + b^2 - c^2 - ac - a^2 - ab + bc + c^2 + ac + a^2 - b^2 - bc
= 0

Alternatively:
Apply the row operation R3 -> R3 + R2:
A' = [[1, 1, 1], [a, b, c], [a+b+c, a+b+c, a+b+c]]
Since R3 = (a+b+c) * [1, 1, 1] = (a+b+c) * R1, the rows are linearly dependent, and det(A) = 0.

Câu 28:

Tìm bậc của f(x), biết \(f(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&x&3\\ { - 2}&5&{{x^3}}&4\\ 4&2&{2x}&6\\ 5&{ - 2}&1&3 \end{array}} \right|\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm bậc của đa thức f(x) được định nghĩa bởi định thức, ta cần tính định thức đó. Khi tính định thức của một ma trận 4x4, ta sẽ thu được một đa thức theo biến x. Bậc của đa thức này chính là bậc của f(x). Ta nhận thấy các phần tử của ma trận có bậc cao nhất là x^3. Khi khai triển định thức, ta sẽ có các số hạng là tích của 4 phần tử, mỗi phần tử lấy từ một hàng và một cột khác nhau. Số hạng có bậc cao nhất có thể thu được là tích của x^3 với các số hạng không chứa x khác, hoặc tích của x với 2x với các số hạng không chứa x. Tuy nhiên, để xác định chính xác bậc của đa thức, ta cần khai triển định thức và xem số hạng bậc cao nhất khác 0 là bao nhiêu. Khi khai triển định thức, số hạng chứa x^4 sẽ bị triệt tiêu. Số hạng chứa x^3 có thể khác 0. Vì vậy, bậc của f(x) là 3.

Câu 29:

Tính định thức của ma trận: \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&3&{ - 1}\\ 3&{ - 1}&7&{ - 2}\\ 4&0&{ - 1}&1\\ 5&0&{10}&{ - 3} \end{array}} \right]\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tính định thức của ma trận A, ta có thể sử dụng phương pháp khai triển theo dòng hoặc cột. Ở đây, ta thấy cột thứ hai có nhiều số 0, nên khai triển theo cột này sẽ đơn giản hơn.

Định thức của A sẽ là:

det(A) = 1 * C_{12} + (-1) * C_{22} + 0 * C_{32} + 0 * C_{42}
= C_{12} - C_{22}

Trong đó, C_{ij} là phần bù đại số của phần tử a_{ij}.

Tính C_{12}:
C_{12} = (-1)^(1+2) * det(M_{12}), với M_{12} là ma trận con bỏ đi dòng 1 và cột 2 của A.
M_{12} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
3&7&{ - 2}\\
4&{ - 1}&1\\
5&{10}&{ - 3}
\end{array}} \right]

det(M_{12}) = 3((-1)*(-3) - 1*10) - 7(4*(-3) - 1*5) + (-2)(4*10 - (-1)*5)
= 3(3 - 10) - 7(-12 - 5) - 2(40 + 5)
= 3(-7) - 7(-17) - 2(45)
= -21 + 119 - 90
= 8

Vậy C_{12} = (-1)^(1+2) * 8 = -8

Tính C_{22}:
C_{22} = (-1)^(2+2) * det(M_{22}), với M_{22} là ma trận con bỏ đi dòng 2 và cột 2 của A.
M_{22} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&3&{ - 1}\\
4&{ - 1}&1\\
5&{10}&{ - 3}
\end{array}} \right]

det(M_{22}) = 2((-1)*(-3) - 1*10) - 3(4*(-3) - 1*5) + (-1)(4*10 - (-1)*5)
= 2(3 - 10) - 3(-12 - 5) - 1(40 + 5)
= 2(-7) - 3(-17) - 1(45)
= -14 + 51 - 45
= -8

Vậy C_{22} = (-1)^(2+2) * (-8) = -8

Do đó, det(A) = C_{12} - C_{22} = -8 - (-8) = -8 + 8 = 0

Vậy định thức của ma trận A là 0.

Câu 30:

Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&{ - 1} \end{array}} \right]\) và \(f(x) = 2{x^2} + 4x - 3\). Tính định thức của ma trận f(A).

Lời giải: