Giải phương trình: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3&1&1\\ 3&2&1&4\\ 1&0&{ - 1}&1\\ { - 1}&1&2&x \end{array}} \right| = - 3\)

Ta có \(f(A) = A^2 + 3A - 5I\).

Do A là ma trận tam giác dưới nên các giá trị riêng của A là các phần tử trên đường chéo chính, tức là \({\lambda _1} = 2,{\lambda _2} = 1,{\lambda _3} = 1\).

Khi đó các giá trị riêng của \(f(A)\) là \(f({\lambda _1}) = {2^2} + 3.2 - 5 = 5;f({\lambda _2}) = {1^2} + 3.1 - 5 = -1;f({\lambda _3}) = {1^2} + 3.1 - 5 = -1\).

Suy ra \(\det (f(A)) = 5.(-1).(-1) = 5\).

Vậy \(\det {(f(A))^{-1}} = \frac{1}{{\det (f(A))}} = \frac{1}{5}\).

Để tính định thức của ma trận A, ta có thể thực hiện các phép biến đổi trên hàng để đơn giản hóa ma trận.

Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
a&b&c\\
{b + c}&{c + a}&{a + b}
\end{array}} \right]\)

Thực hiện phép biến đổi: H3 = H3 - (H2 + a*H1)

Ta có: \(H_3 \rightarrow H_3 - (H_2 + aH_1)\) 

Hàng 3 mới sẽ là: \(b+c - (a + a*1) = b + c - a - a = b + c - a - a\)

\(c+a - (b + a*1) = c + a - b - a = c - b\)

\(a+b - (c + a*1) = a + b - c - a = b - c\)

Tuy nhiên, có một cách tiếp cận đơn giản hơn. Ta có thể phân tích hàng thứ 3 thành tổng của hàng thứ nhất và hàng thứ hai.

Hàng 3 = (b+c, c+a, a+b) = (a+b+c, a+b+c, a+b+c) - (a, b, c) - (0, 0, 0)

Ta nhận thấy rằng H3 = H2 + (0,0,0)

Sử dụng tính chất của định thức, nếu một hàng của ma trận là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác, thì định thức của ma trận đó bằng 0.

Trong trường hợp này, ta có thể viết hàng thứ ba như sau: H3 = H2 + (H1' nào đó).

Trong đó H1' là một hàng tỉ lệ với hàng 1 sao cho khi cộng với H2 thì được H3.

Cụ thể, H3 = (b+c, c+a, a+b) = (a, b, c) + (-a+b+c, a-b+c, a+b-c)

Vì hàng thứ ba là tổng của hàng thứ hai và một tổ hợp tuyến tính của hàng thứ nhất (thực tế là có thể biến đổi hàng thứ 3 thành H3 - H2 - aH1 và kết quả là một hàng có các phần tử tỉ lệ với nhau, suy ra định thức bằng 0.)

Do đó, định thức của ma trận A bằng 0.

Để tìm bậc của đa thức f(x) được định nghĩa bởi định thức, ta cần tính định thức đó. Khi tính định thức của một ma trận 4x4, ta sẽ thu được một đa thức theo biến x. Bậc của đa thức này chính là bậc của f(x). Ta nhận thấy các phần tử của ma trận có bậc cao nhất là x^3. Khi khai triển định thức, ta sẽ có các số hạng là tích của 4 phần tử, mỗi phần tử lấy từ một hàng và một cột khác nhau. Số hạng có bậc cao nhất có thể thu được là tích của x^3 với các số hạng không chứa x khác, hoặc tích của x với 2x với các số hạng không chứa x. Tuy nhiên, để xác định chính xác bậc của đa thức, ta cần khai triển định thức và xem số hạng bậc cao nhất khác 0 là bao nhiêu. Khi khai triển định thức, số hạng chứa x^4 sẽ bị triệt tiêu. Số hạng chứa x^3 có thể khác 0. Vì vậy, bậc của f(x) là 3.