Tìm định thức của ma trận A, với \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ {b + c}&{c + a}&{a + b} \end{array}} \right]\)

\(det( A) = ( a + b + c) abc\)

\(det(A) = (a + b) (b + c) (c + a)\)

\(det(A) = abc\)

\(det( A) = 0\)

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Let the matrix be denoted as A: A = [[1, 1, 1], [a, b, c], [b+c, c+a, a+b]]. We want to find the determinant of A. det(A) = 1(b(a+b) - c(c+a)) - 1(a(a+b) - c(b+c)) + 1(a(c+a) - b(b+c)) = ab + b^2 - c^2 - ac - a^2 - ab + bc + c^2 + ac + a^2 - b^2 - bc = 0 Alternatively: Apply the row operation R3 -> R3 + R2: A' = [[1, 1, 1], [a, b, c], [a+b+c, a+b+c, a+b+c]] Since R3 = (a+b+c) * [1, 1, 1] = (a+b+c) * R1, the rows are linearly dependent, and det(A) = 0.

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 1

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 28:

Tìm bậc của f(x), biết \(f(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&x&3\\ { - 2}&5&{{x^3}}&4\\ 4&2&{2x}&6\\ 5&{ - 2}&1&3 \end{array}} \right|\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm bậc của đa thức f(x) được định nghĩa bởi định thức, ta cần tính định thức đó. Khi tính định thức của một ma trận 4x4, ta sẽ thu được một đa thức theo biến x. Bậc của đa thức này chính là bậc của f(x). Ta nhận thấy các phần tử của ma trận có bậc cao nhất là x^3. Khi khai triển định thức, ta sẽ có các số hạng là tích của 4 phần tử, mỗi phần tử lấy từ một hàng và một cột khác nhau. Số hạng có bậc cao nhất có thể thu được là tích của x^3 với các số hạng không chứa x khác, hoặc tích của x với 2x với các số hạng không chứa x. Tuy nhiên, để xác định chính xác bậc của đa thức, ta cần khai triển định thức và xem số hạng bậc cao nhất khác 0 là bao nhiêu. Khi khai triển định thức, số hạng chứa x^4 sẽ bị triệt tiêu. Số hạng chứa x^3 có thể khác 0. Vì vậy, bậc của f(x) là 3.

Câu 29:

Tính định thức của ma trận: \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&3&{ - 1}\\ 3&{ - 1}&7&{ - 2}\\ 4&0&{ - 1}&1\\ 5&0&{10}&{ - 3} \end{array}} \right]\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tính định thức của ma trận A, ta có thể sử dụng phương pháp khai triển theo dòng hoặc cột. Ở đây, ta thấy cột thứ hai có nhiều số 0, nên khai triển theo cột này sẽ đơn giản hơn.

Định thức của A sẽ là:

det(A) = 1 * C_{12} + (-1) * C_{22} + 0 * C_{32} + 0 * C_{42}
= C_{12} - C_{22}

Trong đó, C_{ij} là phần bù đại số của phần tử a_{ij}.

Tính C_{12}:
C_{12} = (-1)^(1+2) * det(M_{12}), với M_{12} là ma trận con bỏ đi dòng 1 và cột 2 của A.
M_{12} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
3&7&{ - 2}\\
4&{ - 1}&1\\
5&{10}&{ - 3}
\end{array}} \right]

det(M_{12}) = 3((-1)*(-3) - 1*10) - 7(4*(-3) - 1*5) + (-2)(4*10 - (-1)*5)
= 3(3 - 10) - 7(-12 - 5) - 2(40 + 5)
= 3(-7) - 7(-17) - 2(45)
= -21 + 119 - 90
= 8

Vậy C_{12} = (-1)^(1+2) * 8 = -8

Tính C_{22}:
C_{22} = (-1)^(2+2) * det(M_{22}), với M_{22} là ma trận con bỏ đi dòng 2 và cột 2 của A.
M_{22} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&3&{ - 1}\\
4&{ - 1}&1\\
5&{10}&{ - 3}
\end{array}} \right]

det(M_{22}) = 2((-1)*(-3) - 1*10) - 3(4*(-3) - 1*5) + (-1)(4*10 - (-1)*5)
= 2(3 - 10) - 3(-12 - 5) - 1(40 + 5)
= 2(-7) - 3(-17) - 1(45)
= -14 + 51 - 45
= -8

Vậy C_{22} = (-1)^(2+2) * (-8) = -8

Do đó, det(A) = C_{12} - C_{22} = -8 - (-8) = -8 + 8 = 0

Vậy định thức của ma trận A là 0.

Câu 30:

Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 0&1&1\\ 0&0&{ - 1} \end{array}} \right]\) và \(f(x) = 2{x^2} + 4x - 3\). Tính định thức của ma trận f(A).

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có ma trận A là ma trận tam giác trên, nên các giá trị riêng của A là các phần tử trên đường chéo chính: 1, 1, -1.
Khi đó, các giá trị riêng của f(A) là f(1), f(1), f(-1).
Ta có:
f(1) = 2*(1)^2 + 4*1 - 3 = 2 + 4 - 3 = 3
f(-1) = 2*(-1)^2 + 4*(-1) - 3 = 2 - 4 - 3 = -5
Vậy các giá trị riêng của f(A) là 3, 3, -5.
Định thức của ma trận f(A) bằng tích các giá trị riêng của nó. Do đó:
det(f(A)) = 3 * 3 * (-5) = -45
Vậy đáp án đúng là -45.

Câu 31:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau có nghiệm khác không \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 2z = 0\\ x + 3y + 2z + 2t = 0\\ x + 2y + z + 2t = 0\\ x + y + z + mt = 0 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để hệ phương trình có nghiệm khác không, định thức của ma trận hệ số phải bằng 0. Ta lập ma trận hệ số A:

\(A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 0 \\
1 & 3 & 2 & 2 \\
1 & 2 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 1 & m
\end{bmatrix}\)

Tính định thức của A. Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đơn giản ma trận:
R2 = R2 - R1, R3 = R3 - R1, R4 = R4 - R1

\(A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & -1 & 2 \\
0 & -1 & -1 & m
\end{bmatrix}\)

R4 = R4 + R2

\(A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & -1 & m+2
\end{bmatrix}\)

R4 = R4 - R3
\(A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & m
\end{bmatrix}\)

Định thức của A là: det(A) = 1 * 1 * (-1) * m = -m

Để hệ có nghiệm khác không thì det(A) = 0 => -m = 0 => m = 0.
Vậy m = 0 thì hệ phương trình có nghiệm khác không.

Câu 32:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau vô số nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + 2z = 2{\rm{ }}\\ 2x + y + 3z = 5{\rm{ }}\\ 3x + my + 7z = m + 2 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để hệ phương trình có vô số nghiệm, hạng của ma trận hệ số phải bằng hạng của ma trận bổ sung và nhỏ hơn số ẩn (ở đây là 3). Ta xét ma trận hệ số mở rộng:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&2\\
2&1&3&5\\
3&m&7&{m + 2}
\end{array}} \right]\)

Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên hàng:

* \({R_2} \to {R_2} - 2{R_1}\)
* \({R_3} \to {R_3} - 3{R_1}\)

Ta được:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&2\\
0&{ - 1}&{ - 1}&1\\
0&{m - 3}&1&{m - 4}
\end{array}} \right]\)

Tiếp tục biến đổi \({R_3} \to {R_3} + (m - 3){R_2}\), ta được:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&2\\
0&{ - 1}&{ - 1}&1\\
0&0&{ - m + 4}&{2m - 7}
\end{array}} \right]\)

Để hệ có vô số nghiệm, ta cần:

\(\left\{ \begin{array}{l}
- m + 4 = 0{\rm{ }}\\
2m - 7 = 0
\end{array} \right.\)

Tuy nhiên, không có giá trị m nào thỏa mãn cả hai điều kiện trên. Vậy, không tồn tại m để hệ có vô số nghiệm.

Câu 33:

Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường?

\(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + z = 0{\rm{ }}\\ 2x + y + 3z = 0{\rm{ }}\\ 3x + 3y + mz = 0 \end{array} \right.\)

Lời giải: