Tìm định thức của ma trận A, với \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ {b + c}&{c + a}&{a + b} \end{array}} \right]\)

Đáp án đúng: D

Để tính định thức của ma trận A, ta có thể thực hiện các phép biến đổi trên hàng để đơn giản hóa ma trận.

Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ a&b&c\\ {b + c}&{c + a}&{a + b} \end{array}} \right]\)

Thực hiện phép biến đổi: H3 = H3 - (H2 + a*H1)
Ta có: \(H_3 \rightarrow H_3 - (H_2 + aH_1)\)

Hàng 3 mới sẽ là: \(b+c - (a + a*1) = b + c - a - a = b + c - a - a\)

\(c+a - (b + a*1) = c + a - b - a = c - b\)

\(a+b - (c + a*1) = a + b - c - a = b - c\)

Tuy nhiên, có một cách tiếp cận đơn giản hơn. Ta có thể phân tích hàng thứ 3 thành tổng của hàng thứ nhất và hàng thứ hai.

Hàng 3 = (b+c, c+a, a+b) = (a+b+c, a+b+c, a+b+c) - (a, b, c) - (0, 0, 0)

Ta nhận thấy rằng H3 = H2 + (0,0,0)

Sử dụng tính chất của định thức, nếu một hàng của ma trận là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác, thì định thức của ma trận đó bằng 0.

Trong trường hợp này, ta có thể viết hàng thứ ba như sau: H3 = H2 + (H1' nào đó).
Trong đó H1' là một hàng tỉ lệ với hàng 1 sao cho khi cộng với H2 thì được H3.

Cụ thể, H3 = (b+c, c+a, a+b) = (a, b, c) + (-a+b+c, a-b+c, a+b-c)

Vì hàng thứ ba là tổng của hàng thứ hai và một tổ hợp tuyến tính của hàng thứ nhất (thực tế là có thể biến đổi hàng thứ 3 thành H3 - H2 - aH1 và kết quả là một hàng có các phần tử tỉ lệ với nhau, suy ra định thức bằng 0.)

Do đó, định thức của ma trận A bằng 0.