Với giá trị nào của m thì không gian nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + 2z - t{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ 2x + 3y + z + t{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ - x + y + z + mt{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \end{array} \right.\) có chiều bằng 1.
Trả lời:
Đáp án đúng: B
Để tìm giá trị của m sao cho không gian nghiệm của hệ có chiều bằng 1, ta cần tìm điều kiện để hệ phương trình có hạng (rank) bằng 3 (vì số ẩn là 4, và chiều của không gian nghiệm = số ẩn - hạng của ma trận hệ số). Khi đó, không gian nghiệm sẽ có chiều 4 - 3 = 1.
Ta xét ma trận hệ số của hệ phương trình:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&{ - 1}\\
2&3&1&1\\n{ - 1}&1&1&m
\end{array}} \right]\)
Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận về dạng bậc thang:
H2 = H2 - 2H1, H3 = H3 + H1:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&{ - 1}\\
0&1&{ - 3}&3\\n0&2&3&{m - 1}
\end{array}} \right]\)
H3 = H3 - 2H2:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&{ - 1}\\
0&1&{ - 3}&3\\n0&0&9&{m - 7}
\end{array}} \right]\)
Để hạng của ma trận bằng 3, ta cần có phần tử (3,3) khác 0, tức là \(m - 7 \ne 0\) hay \(m \ne 7\).
Tuy nhiên, nếu \(m = 7\), thì hạng của ma trận là 2 vì H3 là tổ hợp tuyến tính của H1 và H2. Do đó, chiều của không gian nghiệm là 4 - 2 = 2, không phải 1.
Như vậy, cần tìm m để hạng của ma trận bằng 3, tức là \(m \ne 7\). Nếu m = 7 thì dòng cuối cùng sẽ là dòng 0, khi đó rank = 2 và số chiều không gian nghiệm là 4-2=2 > 1. Do đó m khác 7. Khi đó số chiều không gian nghiệm là 1.
Vậy đáp án đúng là \(m \ne 7\).
Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!
50 câu hỏi 60 phút
