Tìm tất cả m để hệ phương trình sau có nghiệm không tầm thường: \(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} + {\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}4z{\rm{ }} - {\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} + {\rm{ }}5t{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ 4x{\rm{ }} + {\rm{ }}6y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} + {\rm{ }}mt{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \end{array} \right.\)

Để hệ phương trình có vô số nghiệm, các phương trình phải tương đương hoặc phụ thuộc tuyến tính lẫn nhau. Xét hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y + (7 - m)z = 2 \\
2x + 4y - 5z = 1 \\
3x + 6y + mz = 3
\end{array} \right.$

Nhận thấy phương trình thứ nhất nhân với 2 sẽ được $2x+4y+2(7-m)z = 4$. So sánh với phương trình thứ hai $2x+4y-5z = 1$, ta thấy không có giá trị $m$ nào làm cho hai phương trình này tương đương.

Nhận thấy phương trình thứ nhất nhân với 3 sẽ được $3x+6y+3(7-m)z = 6$. So sánh với phương trình thứ ba $3x+6y+mz = 3$, ta thấy không có giá trị $m$ nào làm cho hai phương trình này tương đương.

Tuy nhiên, nếu ta biến đổi hệ phương trình để hai phương trình song song với nhau, tức là tỷ lệ các hệ số của x, y bằng nhau, nhưng tỷ lệ hệ số của z và hằng số khác thì hệ sẽ vô nghiệm. Ở đây, ta xem xét khi nào 3 đường thẳng trên đồng quy, tức là có giao điểm chung.

Từ phương trình (1) và (3), ta thấy hệ số của $x, y$ lần lượt là $(1,2)$ và $(3,6)$, tức là có tỉ lệ bằng nhau. Ta thử nhân phương trình (1) với 3, ta được: $3x + 6y + 3(7-m)z = 6$. Để hệ có vô số nghiệm, thì phương trình này phải tương đương với $3x + 6y + mz = 3$, tức là $3(7-m) = m$ và $6 = 3$. Điều này vô lý, vì $6\neq 3$.

Xét trường hợp khi $m = \frac{19}{2}$. Khi đó, phương trình thứ nhất trở thành $x + 2y + (7 - \frac{19}{2})z = 2$, tức là $x + 2y - \frac{5}{2}z = 2$. Nhân với 2, ta được $2x + 4y - 5z = 4$, khác với phương trình thứ hai $2x + 4y - 5z = 1$. Như vậy, hệ vô nghiệm.

Từ các phân tích trên, có vẻ như không có giá trị $m$ nào để hệ phương trình có vô số nghiệm. Vì vậy, đáp án đúng nhất là "3 câu kia đều sai".

Ta thấy vector (2, 4, 6) = 2*(1, 2, 3), suy ra hai vector này phụ thuộc tuyến tính. Vậy để M sinh ra không gian có chiều là 3 thì M phải độc lập tuyến tính. Điều này xảy ra khi định thức của ma trận tạo bởi 3 vector khác 0.
Xét ma trận A = [[1, 2, 3], [2, 4, 4], [3, 6, m]].
Để tìm điều kiện của m để det(A) khác 0, ta thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên dòng: dòng 2 trừ 2 lần dòng 1 và dòng 3 trừ 3 lần dòng 1, ta được:
A' = [[1, 2, 3], [0, 0, -2], [0, 0, m-9]].
Vậy det(A) = 1 * 0 * (m-9) - 1 * (-2) * 0 + 2 * 0 * (m-9) - 2 * (-2) * 0 + 3 * 0 * 0 - 3 * 0 * 0 = 0. Do đó, không tồn tại m để M sinh ra không gian có chiều là 3.
Vì (1,2,3) và (2,4,6) là hai vector tỉ lệ nên không gian sinh ra bởi họ M có chiều nhỏ hơn 3 với mọi m. Nếu ta thay đổi (2,4,6) thành (2,4,4) thì ta sẽ có kết quả khác.
Tuy nhiên, nếu ta xét ma trận [[1,2,3],[2,4,6],[3,4,m]] thì định thức của nó bằng 1*(4m-24) - 2*(2m-18) + 3*(8-12) = 4m - 24 - 4m + 36 - 12 = 0. Vậy nên, với mọi m thì định thức luôn bằng 0, tức là 3 vector này luôn phụ thuộc tuyến tính và không gian sinh bởi chúng có chiều nhỏ hơn 3. Do đó, không tồn tại m để M sinh ra không gian có chiều là 3.

Một ma trận khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0.

* Phương án 1: Ma trận có hai hàng tỉ lệ (hàng 1 và hàng 2), do đó định thức bằng 0. Ma trận này không khả nghịch.
* Phương án 2: Tính định thức: 1*(0*2 - 0*0) - 2*(-3*2 - 0*1) + 3*(-3*0 - 0*1) = 0 - 2*(-6) + 0 = 12 khác 0. Ma trận này khả nghịch.
* Phương án 3: Tính định thức: 1*(0*-3 - 2*0) - 1*(-2*-3 - 2*3) + (-2)*(-2*0 - 0*3) = 0 - 1*(6 - 6) + 0 = 0. Ma trận này không khả nghịch.
* Phương án 4: Tính định thức: -2*(3*1 - (-1)*4) - 1*(4*1 - (-1)*2) + 2*(4*4 - 3*2) = -2*(3+4) - 1*(4+2) + 2*(16-6) = -2*7 - 1*6 + 2*10 = -14 - 6 + 20 = 0. Ma trận này không khả nghịch.

Vậy, chỉ có ma trận ở phương án 2 là khả nghịch.

Để tìm ma trận nghịch đảo của A, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính định thức của A:
det(A) = 2 * (3*1 - 0*1) - 0 + 0 = 2 * 3 = 6

2. Tìm ma trận phụ hợp (adjoint) của A:
Ma trận phụ hợp là chuyển vị của ma trận các cofactor.
- Tính các cofactor:
C11 = (3*1 - 0*1) = 3
C12 = -(2*1 - 0*3) = -2
C13 = (2*1 - 3*3) = -7
C21 = -(0*1 - 0*1) = 0
C22 = (2*1 - 0*3) = 2
C23 = -(2*1 - 3*0) = -2
C31 = (0*0 - 3*0) = 0
C32 = -(2*0 - 2*0) = 0
C33 = (2*3 - 2*0) = 6
- Ma trận cofactor:
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&{-2}&{-7}\\
0&2&{-2}\\
0&0&6
\end{array}} \right)\)
- Ma trận phụ hợp (chuyển vị của ma trận cofactor):
\(adj(A) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&0&0\\
{-2}&2&0\\
{-7}&{-2}&6
\end{array}} \right)\)

3. Tính ma trận nghịch đảo:
\(A^{-1} = \frac{1}{det(A)} * adj(A) = \frac{1}{6} * \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
3&0&0\\
{-2}&2&0\\
{-7}&{-2}&6
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1/2&0&0\\
-1/3&1/3&0\\
-7/6&-1/3&1
\end{array}} \right)\)

M là tập tất cả các phần tử của \(A^{-1}\). Các phần tử của \(A^{-1}\) là: 1/2, 0, 0, -1/3, 1/3, 0, -7/6, -1/3, 1
Các giá trị trong đáp án không phù hợp với các phần tử của \(A^{-1}\). Do đó, không có đáp án nào đúng.