Cho M = {x, y, z} là tập độc lập tuyến tính, t không là tổ hợp tuyến tính của M. Khẳng định nào luôn đúng?

Vì V có số chiều bằng 3, và {x, y} độc lập tuyến tính, z không là tổ hợp tuyến tính của {x, y}, suy ra {x, y, z} độc lập tuyến tính. Do đó, {x, y, z} là một cơ sở của V.

Xét đáp án 1: x + y, x − y, x + y + 3z là cơ sở của V. Ta cần kiểm tra xem ba vector này có độc lập tuyến tính không. Giả sử a(x+y) + b(x-y) + c(x+y+3z) = 0. Điều này tương đương với (a+b+c)x + (a-b+c)y + 3cz = 0. Vì {x, y, z} độc lập tuyến tính, ta có hệ phương trình: a+b+c = 0, a-b+c = 0, 3c = 0. Giải hệ này, ta được c = 0, a + b = 0, a - b = 0. Suy ra a = 0 và b = 0. Vậy a = b = c = 0, tức là ba vector độc lập tuyến tính. Do đó, x + y, x − y, x + y + 3z là cơ sở của V.

Xét đáp án 2: {x, y, z} không sinh ra V. Điều này sai vì {x, y, z} là cơ sở của V nên chắc chắn sinh ra V.

Xét đáp án 3: V =< x, y, x + 2y >. Điều này sai vì x + 2y là tổ hợp tuyến tính của x và y, nên không gian sinh bởi {x, y, x + 2y} chỉ là không gian sinh bởi {x, y}, có số chiều là 2, không thể bằng V có số chiều 3.

Vậy, đáp án đúng là đáp án 1.

Vì {x, y} là họ độc lập tuyến tính cực đại của V = , điều này có nghĩa là mọi vector trong V đều có thể biểu diễn tuyến tính qua x và y. Hay nói cách khác, z và t đều là tổ hợp tuyến tính của x và y. Như vậy:

* Phương án 1: x, y, x + y + z sinh ra V là đúng vì z là tổ hợp tuyến tính của x và y, do đó x + y + z cũng chỉ là tổ hợp tuyến tính của x và y.
* Phương án 2: {x, y, t} độc lập tuyến tính là sai vì t là tổ hợp tuyến tính của x và y, nên {x, y, t} phụ thuộc tuyến tính.
* Phương án 3: {x, t} phụ thuộc tuyến tính là sai vì t là tổ hợp tuyến tính của x và y, nhưng không nhất thiết là tổ hợp tuyến tính của x. Ví dụ: t = x + y.
* Phương án 4: {z} không là tổ hợp tuyến tính của {x, y} là sai vì z là tổ hợp tuyến tính của x và y.

Vậy, phương án đúng là phương án 1.

Gọi tọa độ của vecto p(x) trong cơ sở E là (a, b). Khi đó, ta có:

\(p(x) = a(x^2 + 2x + 1) + b(2x^2 + x + 3)\)
\(p(x) = (a + 2b)x^2 + (2a + b)x + (a + 3b)\)

Theo đề bài, \(p(x) = -x^2 + 7x - 2\). Do đó, ta có hệ phương trình:

\begin{cases} a + 2b = -1 \\ 2a + b = 7 \\ a + 3b = -2 \\ \end{cases} \)

Giải hệ phương trình này, ta tìm được a = 5 và b = -3.

Vậy, tọa độ của vecto p(x) trong cơ sở E là (5, -3).

Ta có AX = D1 và AX = D2. Do đó, X1 = A^(-1)D1 và X2 = A^(-1)D2. Vậy X1 - X2 = A^(-1)D1 - A^(-1)D2 = A^(-1)(D1 - D2).
D1 - D2 = (5, 6) - (5, 9) = (0, -3).
Tính A^(-1):
Định thức của A là det(A) = (1 * 9) - (2 * 3) = 9 - 6 = 3.
Ma trận nghịch đảo của A là:
A^(-1) = (1/3) * (9 -2, -3 1) = (3 -2/3, -1 1/3).
Vậy X1 - X2 = (3 -2/3, -1 1/3) * (0, -3) = ( (3 * 0) + (-2/3 * -3), (-1 * 0) + (1/3 * -3)) = (0 + 2, 0 - 1) = (2, -1).
Vậy X1 - X2 = (2, -1).

Để một tập hợp con của R^3 là một không gian con, nó phải thỏa mãn hai điều kiện:
1. Chứa vector 0 (gốc tọa độ).
2. Đóng với phép cộng vector và phép nhân với một số vô hướng.

Xét W1 = {(x, y, 1) / x = 2y}. Vì z luôn bằng 1, vector (0, 0, 0) không thuộc W1. Do đó, W1 không phải là không gian con của R^3.

Xét W2 = {(x, y, z) / z = 2x - y}. Kiểm tra điều kiện:
- Vector 0: Nếu x = 0, y = 0 thì z = 2(0) - 0 = 0. Vậy (0, 0, 0) thuộc W2.
- Phép cộng: Giả sử (x1, y1, z1) và (x2, y2, z2) thuộc W2. Khi đó z1 = 2x1 - y1 và z2 = 2x2 - y2. Ta có (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2). Kiểm tra xem z1 + z2 = 2(x1 + x2) - (y1 + y2)? Ta có z1 + z2 = (2x1 - y1) + (2x2 - y2) = 2(x1 + x2) - (y1 + y2). Vậy (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) thuộc W2.
- Phép nhân với một số vô hướng: Giả sử (x, y, z) thuộc W2 và c là một số vô hướng. Khi đó z = 2x - y. Xét vector (cx, cy, cz). Kiểm tra xem cz = 2(cx) - (cy)? Ta có cz = c(2x - y) = 2(cx) - (cy). Vậy (cx, cy, cz) thuộc W2.
Vậy W2 là không gian con của R^3.

Xét W3 = {(x, y, z) / x + y + z = 0}. Kiểm tra điều kiện:
- Vector 0: Nếu x = 0, y = 0 thì z = 0. Vậy (0, 0, 0) thuộc W3.
- Phép cộng: Giả sử (x1, y1, z1) và (x2, y2, z2) thuộc W3. Khi đó x1 + y1 + z1 = 0 và x2 + y2 + z2 = 0. Ta có (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2). Kiểm tra xem (x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) = 0? Ta có (x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) = (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) = 0 + 0 = 0. Vậy (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) thuộc W3.
- Phép nhân với một số vô hướng: Giả sử (x, y, z) thuộc W3 và c là một số vô hướng. Khi đó x + y + z = 0. Xét vector (cx, cy, cz). Kiểm tra xem cx + cy + cz = 0? Ta có cx + cy + cz = c(x + y + z) = c(0) = 0. Vậy (cx, cy, cz) thuộc W3.
Vậy W3 là không gian con của R^3.

Vậy W2 và W3 là không gian con của R^3.