Trong không gian R³, xét các tập hợp:

\({W_1} = \left\{ {(x,y,1)/x = 2y} \right\};{W_2} = \left\{ {(x,y,z)/z = 2x - y} \right\};{W_3} = \left\{ {(x,y,z)/x + y + z = 0} \right\}\)

Chọn mệnh đề đúng:

Để một tập hợp con của R^3 là một không gian con, nó phải thỏa mãn hai điều kiện: 1. Chứa vector 0 (gốc tọa độ). 2. Đóng với phép cộng vector và phép nhân với một số vô hướng. Xét W1 = {(x, y, 1) / x = 2y}. Vì z luôn bằng 1, vector (0, 0, 0) không thuộc W1. Do đó, W1 không phải là không gian con của R^3. Xét W2 = {(x, y, z) / z = 2x - y}. Kiểm tra điều kiện: - Vector 0: Nếu x = 0, y = 0 thì z = 2(0) - 0 = 0. Vậy (0, 0, 0) thuộc W2. - Phép cộng: Giả sử (x1, y1, z1) và (x2, y2, z2) thuộc W2. Khi đó z1 = 2x1 - y1 và z2 = 2x2 - y2. Ta có (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2). Kiểm tra xem z1 + z2 = 2(x1 + x2) - (y1 + y2)? Ta có z1 + z2 = (2x1 - y1) + (2x2 - y2) = 2(x1 + x2) - (y1 + y2). Vậy (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) thuộc W2. - Phép nhân với một số vô hướng: Giả sử (x, y, z) thuộc W2 và c là một số vô hướng. Khi đó z = 2x - y. Xét vector (cx, cy, cz). Kiểm tra xem cz = 2(cx) - (cy)? Ta có cz = c(2x - y) = 2(cx) - (cy). Vậy (cx, cy, cz) thuộc W2. Vậy W2 là không gian con của R^3. Xét W3 = {(x, y, z) / x + y + z = 0}. Kiểm tra điều kiện: - Vector 0: Nếu x = 0, y = 0 thì z = 0. Vậy (0, 0, 0) thuộc W3. - Phép cộng: Giả sử (x1, y1, z1) và (x2, y2, z2) thuộc W3. Khi đó x1 + y1 + z1 = 0 và x2 + y2 + z2 = 0. Ta có (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2). Kiểm tra xem (x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) = 0? Ta có (x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) = (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) = 0 + 0 = 0. Vậy (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) thuộc W3. - Phép nhân với một số vô hướng: Giả sử (x, y, z) thuộc W3 và c là một số vô hướng. Khi đó x + y + z = 0. Xét vector (cx, cy, cz). Kiểm tra xem cx + cy + cz = 0? Ta có cx + cy + cz = c(x + y + z) = c(0) = 0. Vậy (cx, cy, cz) thuộc W3. Vậy W3 là không gian con của R^3. Vậy W2 và W3 là không gian con của R^3.