Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{{20}{c}} 1&1&1\\ 2&3&1\\ 3&4&5 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{{20}{c}} 2&1&m\\ 3&5&0\\ { - 4}&0&0 \end{array}} \right]\). Tính m để A khả nghịch.

\(\forall\)

\(\forall m\)

\(m \ne 20\)

\(m \ne 0\)

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Để ma trận A khả nghịch, định thức của nó phải khác 0. Ta có: \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 2&3&1\\ 3&4&5 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&m\\ 3&5&0\\ { - 4}&0&0 \end{array}} \right]\) Tính định thức của từng ma trận: \(\det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 2&3&1\\ 3&4&5 \end{array}} \right]} \right) = 1(15-4) - 1(10-3) + 1(8-9) = 11 - 7 - 1 = 3\) \(\det \left( {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&m\\ 3&5&0\\ { - 4}&0&0 \end{array}} \right]} \right) = -4(0-5m) = 20m\) Vậy, \(\det(A) = 3 * 20m = 60m\) Để A khả nghịch, \(\det(A) \ne 0\), tức là \(60m \ne 0\), suy ra \(m \ne 0\).

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 1

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 11:

Cho ma trận A: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1\\ 2&2&2&2\\ 3&3&3&3\\ 1&2&{ - 1}&3 \end{array}} \right]\). Tìm hạng của ma trận phụ hợp P_A?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta thấy các dòng 1, 2, 3 của ma trận A tỉ lệ với nhau. Do đó, hạng của ma trận A bằng 2. Vì hạng của ma trận A bằng 2 < 4 nên det(A) = 0.
Gọi P_A là ma trận phụ hợp của A, ta có: A * P_A = det(A) * I = 0.
Suy ra, tất cả các cột của P_A đều là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số là A. Vì rank(A) = 2 nên số chiều của không gian nghiệm là 4 - 2 = 2. Do đó, rank(P_A) <= 2.
Mặt khác, vì A có một định thức con cấp 2 khác 0, nên tồn tại một phần tử khác 0 trong P_A. Suy ra, P_A khác ma trận 0, do đó rank(P_A) >= 1.
Xét định thức con cấp hai bất kỳ của P_A, nếu tất cả đều bằng 0, thì rank(P_A) = 1. Nếu không, thì rank(P_A) = 2.
Tuy nhiên, do tất cả các dòng của A không độc lập tuyến tính, nên các cột của P_A sẽ phụ thuộc tuyến tính, do đó, hạng của P_A phải nhỏ hơn 2. Vậy rank(P_A) = 1.

Câu 12:

Với giá trị nào của m thì \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&3&5\\ 3&{ - 2}&6\\ 2&{ - 7}&7 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&5&1\\ 3&4&6\\ m&1&4 \end{array}} \right]\) khả nghịch?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để ma trận A khả nghịch thì det(A) phải khác 0. Ta có det(A) = det(M) * det(N), với M và N là hai ma trận trong tích. Vậy ta cần tính định thức của hai ma trận này.

Ma trận M là:
\(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&3&5\\ 3&{ - 2}&6\\ 2&{ - 7}&7 \end{array}} \right]\)

det(M) = 4*(-2*7 - 6*(-7)) - 3*(3*7 - 6*2) + 5*(3*(-7) - (-2)*2) = 4*(-14 + 42) - 3*(21 - 12) + 5*(-21 + 4) = 4*28 - 3*9 + 5*(-17) = 112 - 27 - 85 = 0

Vì det(M) = 0, suy ra det(A) = det(M) * det(N) = 0 * det(N) = 0 với mọi giá trị của det(N). Điều này có nghĩa là det(A) = 0 với mọi m, và do đó A không khả nghịch với mọi m.

Vậy, không tồn tại giá trị m nào để A khả nghịch.

Câu 13:

Cho \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \frac{\pi }{6}}&{ - \sin \frac{\pi }{6}}\\ {\sin \frac{\pi }{6}}&{\cos \frac{\pi }{6}} \end{array}} \right],X = \in {M_{2 \times 1}}\left[ R \right]\). Thực hiện phép nhân AX, ta thấy:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ma trận A có dạng ma trận quay với góc quay \(\frac{\pi}{6}\). Khi nhân ma trận A với vector X, ta được một vector mới là kết quả của việc quay vector X ngược chiều kim đồng hồ một góc \(\frac{\pi}{6}\). Do đó, đáp án đúng là "Vecto X quay ngược chiều kim đồng hồ một góc bằng \(\frac{\pi }{6}\)".

Câu 14:

Cho \(A \in {M_{3 \times 4}}\left[ {{\rm{ }}R{\rm{ }}} \right]\). Sử dụng phép biến đổi sơ cấp: Cộng vào hàng thứ 3, hàng 1 đã được nhân với số 2. Phép biến đổi trên tương đương với nhân bên trái ma trận A cho ma trận nào sau đây.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

The elementary row operation "Add 2 times row 1 to row 3" corresponds to multiplying the matrix A on the left by an elementary matrix. This elementary matrix is created by performing the corresponding transformation on the 3x3 identity matrix. The 3x3 identity matrix is [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]. Performing the operation "Add 2 times row 1 to row 3" on the identity matrix results in the matrix [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [2, 0, 1]].

Câu 15:

Cho \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&3\\ 2&3&0&4\\ 4&{ - 2}&5&6\\ { - 1}&{k + 1}&4&{k + 5} \end{array}} \right]\). Với giá trị nào của k thì \(r(A) \ge 3\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có ma trận A là ma trận vuông cấp 4. Để tìm điều kiện của k để r(A) ≥ 3, ta cần xét định thức của A. Nếu det(A) ≠ 0 thì r(A) = 4, suy ra r(A) ≥ 3. Nếu det(A) = 0, ta cần xét các định thức con cấp 3 của A. Nếu tồn tại một định thức con cấp 3 khác 0 thì r(A) = 3, suy ra r(A) ≥ 3. Nếu tất cả các định thức con cấp 3 đều bằng 0 thì r(A) < 3.

Tính định thức của A bằng cách khai triển theo cột 3:
det(A) = 5 * det([[1, 0, 3], [2, 3, 4], [-1, k+1, k+5]])
= 5 * [1 * (3(k+5) - 4(k+1)) - 0 + 3 * (2(k+1) - 3(-1))]
= 5 * [3k + 15 - 4k - 4 + 3(2k + 2 + 3)]
= 5 * [-k + 11 + 6k + 15]
= 5 * [5k + 26]

Để det(A) ≠ 0 thì 5k + 26 ≠ 0 hay k ≠ -26/5.

Nếu k = -26/5 thì det(A) = 0 và ta cần xét các định thức con cấp 3. Tuy nhiên, để r(A) ≥ 3 thì chỉ cần tồn tại một định thức con cấp 3 khác 0.

Xét định thức con tạo bởi các hàng 1, 2, 3 và các cột 1, 2, 4:
det([[1, 0, 3], [2, 3, 4], [4, -2, 6]]) = 1(18+8) - 0 + 3(-4-12) = 26 - 48 = -22 ≠ 0

Như vậy, với mọi k thì r(A) ≥ 3.

Vậy đáp án đúng là ∀k.

Câu 16:

Cho ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&0&{ - 4}\\ 4&2&4\\ 3&2&2 \end{array}} \right)\). Số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa \(r({A^k}) = r({A^{k + 1}})\) gọi là chỉ số của ma trận A. Tìm chỉ số của ma trận A.

Lời giải: