Cho \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&3\\ 2&3&0&4\\ 4&{ - 2}&5&6\\ { - 1}&{k + 1}&4&{k + 5} \end{array}} \right]\). Với giá trị nào của k thì \(r(A) \ge 3\)

Câu 16:

Cho ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&0&{ - 4}\\ 4&2&4\\ 3&2&2 \end{array}} \right)\). Số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa \(r({A^k}) = r({A^{k + 1}})\) gọi là chỉ số của ma trận A. Tìm chỉ số của ma trận A.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm chỉ số của ma trận A, ta cần tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho r(A^k) = r(A^(k+1)). Điều này có nghĩa là hạng của ma trận A^k không thay đổi khi nhân thêm A.

Ta có ma trận A như sau:

A = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&0&{ - 4}\\
4&2&4\\
3&2&2
\end{array}} \right)\)

Tính A^2:
A^2 = A * A = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&0&{ - 4}\\
4&2&4\\
3&2&2
\end{array}} \right)\) * \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&0&{ - 4}\\
4&2&4\\
3&2&2
\end{array}} \right)\) = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
-8 & -8 & -4\\
20 & 12 & 4\\
14 & 8 & 0
\end{array}} \right)\)

Tính A^3:
A^3 = A^2 * A = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
-8 & -8 & -4\\
20 & 12 & 4\\
14 & 8 & 0
\end{array}} \right)\) * \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&0&{ - 4}\\
4&2&4\\
3&2&2
\end{array}} \right)\) = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
-12 & -24 & -24\\
-4 & 32 & 0\\
-4 & 16 & -24
\end{array}} \right)\)

Để xác định hạng của các ma trận này, ta có thể sử dụng các phương pháp như biến đổi sơ cấp trên hàng hoặc cột để đưa ma trận về dạng bậc thang. Hoặc, có thể sử dụng phần mềm máy tính để tính toán hạng của các ma trận.

Hạng của A là 2 (có thể kiểm tra bằng cách biến đổi sơ cấp hoặc tính định thức của các ma trận con 2x2).
Hạng của A^2 là 2.
Hạng của A^3 là 2.

Vì r(A) = 2 và r(A^2) = 2, suy ra r(A) = r(A^2). Vậy k = 1 thỏa mãn r(A^k) = r(A^(k+1)).

Vậy chỉ số của ma trận A là 1.

Câu 17:

1- chuẩn của ma trận A là số lớn nhất trong tổng trị tuyệt đối của từng cột. Tìm 1- chuẩn của ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ - 1}&2\\ 3&7&1\\ 2&{ - 5}&4 \end{array}} \right).\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm 1-chuẩn của ma trận A, ta tính tổng trị tuyệt đối của các phần tử trong mỗi cột, sau đó chọn giá trị lớn nhất trong các tổng này.

Cột 1: |5| + |3| + |2| = 5 + 3 + 2 = 10
Cột 2: |-1| + |7| + |-5| = 1 + 7 + 5 = 13
Cột 3: |2| + |1| + |4| = 2 + 1 + 4 = 7

Giá trị lớn nhất trong các tổng là 13. Vậy, 1-chuẩn của ma trận A là 13.

Câu 18:

Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Vết của ma trận A^T.A là chuẩn Frobenius của ma trận A. Tìm chuẩn Frobenius của ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&6\\ 2&1&7\\ { - 2}&5&3 \end{array}} \right).\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có: A = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&6\\ 2&1&7\\ { - 2}&5&3 \end{array}} \right).\)

Chuẩn Frobenius của A là: \(\|A\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2}\) hay \(\|A\|_F^2 = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2\)

Tính \(\|A\|_F^2 = 3^2 + 4^2 + 6^2 + 2^2 + 1^2 + 7^2 + (-2)^2 + 5^2 + 3^2 = 9 + 16 + 36 + 4 + 1 + 49 + 4 + 25 + 9 = 153\)

Vậy \(\|A\|_F = \sqrt{153}\)

Câu 19:

Cho vecto đơn vị. Đặt I - u. u^T, vecto X = (1,-2,1)^T. Tính (I - u. u^T).X. Phép biến đổi (I - u. u^T) là phép chiếu vecto X lên mặt phẳng P là mặt phẳng qua gốc O nhận u làm vecto pháp tuyến.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Đầu tiên, ta cần chuẩn hóa vector u thành vector đơn vị. Giả sử u = (a, b, c). Vector đơn vị v sẽ là v = u / ||u||, trong đó ||u|| là độ dài của vector u.
Tiếp theo, ta tính ma trận chiếu P = I - v.v^T, với I là ma trận đơn vị 3x3.
Cuối cùng, ta tính P.X. Kết quả thu được sẽ là hình chiếu của vector X lên mặt phẳng P.

Giả sử u = (1, 1, 1) => ||u|| = sqrt(1² + 1² + 1²) = sqrt(3). Vậy v = (1/sqrt(3), 1/sqrt(3), 1/sqrt(3)).
v.v^T =

\(\begin{bmatrix}
1/3 & 1/3 & 1/3 \\
1/3 & 1/3 & 1/3 \\
1/3 & 1/3 & 1/3
\end{bmatrix}\)

I - v.v^T =

\(\begin{bmatrix}
2/3 & -1/3 & -1/3 \\
-1/3 & 2/3 & -1/3 \\
-1/3 & -1/3 & 2/3
\end{bmatrix}\)

(I - v.v^T).X =

\(\begin{bmatrix}
2/3 & -1/3 & -1/3 \\
-1/3 & 2/3 & -1/3 \\
-1/3 & -1/3 & 2/3
\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}
1 \\
-2 \\
1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
(2/3) + (2/3) - (1/3) \\
(-1/3) - (4/3) - (1/3) \\
(-1/3) + (2/3) + (2/3)
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
3/3 \\
-6/3 \\
3/3
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 \\
-2 \\
1
\end{bmatrix}\)

Với u=(1,1,1), ta nhận thấy không có đáp án nào đúng. Kiểm tra lại đề bài và các đáp án.

Nếu u = (1, -2, 1) => vector X tỉ lệ với u => hình chiếu của X lên mặt phẳng vuông góc với u là vector 0.

Vì không có thông tin gì thêm về vector u, ta không thể kết luận đáp án nào đúng.

Câu 20:

Cho \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\) là một nghiệm của \(\sqrt[n]{1}\). Ma trận vuông F_n = ( fk,j ) cấp n, với f_k,j=z^{(k−1).(j−1)} được gọi là ma trận Fourier. Phép nhân F_n . X được gọi là phép biến đổi Fourier. Tìm biến đổi Fourier của vecto X = ( 2, −1 )^T

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Câu hỏi yêu cầu tìm biến đổi Fourier của vector X = (2, -1)^T. Trong trường hợp này, n=2. Vậy z = cos(2π/2) - i.sin(2π/2) = cos(π) - i.sin(π) = -1.

Ma trận Fourier F₂ có dạng:

F₂ = (f_k,j) với f_k,j = z^(k-1)(j-1). Do đó:

f_1,1 = z^(1-1)(1-1) = z⁰ = 1
f_1,2 = z^(1-1)(2-1) = z⁰ = 1
f_2,1 = z^(2-1)(1-1) = z⁰ = 1
f_2,2 = z^(2-1)(2-1) = z¹ = -1

Vậy F₂ = [[1, 1], [1, -1]].

Biến đổi Fourier của X là F₂.X = [[1, 1], [1, -1]] . [[2], [-1]] = [[1*2 + 1*(-1)], [1*2 + (-1)*(-1)]] = [[2 - 1], [2 + 1]] = [[1], [3]].

Vậy biến đổi Fourier của X là (1, 3)^T.

Câu 21:

Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Cho ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3&2\\ 4&2&4\\ 3&2&2 \end{array}} \right)\) và \(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ - 2}&4\\ 1&3&7\\ 6&4&5 \end{array}} \right)\). Tìm vết của ma trận AB.

Lời giải: