Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Cho ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3&2\\ 4&2&4\\ 3&2&2 \end{array}} \right)\) và \(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ - 2}&4\\ 1&3&7\\ 6&4&5 \end{array}} \right)\). Tìm vết của ma trận AB.

Đầu tiên, ta tính định thức của ma trận A:
\(\begin{aligned}
\det(A) &= i \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2+i & 3 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2+i & 0 \end{vmatrix} \\
&= i(-3 - 0) - (3 - (2+i)) + (0 - (-1)(2+i)) \\
&= -3i - (1-i) + (2+i) \\
&= -3i - 1 + i + 2 + i \\
&= 1 - i
\end{aligned}\)
Ta có det(A) = 1 - i. Bây giờ, ta cần tìm số nguyên dương nhỏ nhất m sao cho det(A^m) là một số thực.
Ta biết rằng det(A^m) = (det(A))^m = (1 - i)^m. Ta cần tìm m nhỏ nhất sao cho (1 - i)^m là một số thực.
Ta chuyển 1 - i về dạng lượng giác: \(1 - i = \sqrt{2} \left( \cos{\frac{-\pi}{4}} + i \sin{\frac{-\pi}{4}} \right)\)
Áp dụng công thức De Moivre, ta có:
\((1 - i)^m = (\sqrt{2})^m \left( \cos{\frac{-m\pi}{4}} + i \sin{\frac{-m\pi}{4}} \right)\)
Để (1 - i)^m là một số thực, phần ảo phải bằng 0, tức là sin(-mπ/4) = 0.
Điều này xảy ra khi -mπ/4 = kπ, với k là một số nguyên.
Vậy, -m/4 = k, hay m = -4k. Vì m là số nguyên dương nhỏ nhất, ta chọn k = -1, suy ra m = 4.
Vậy, m = 4 là số nguyên dương nhỏ nhất để det(A^m) là một số thực.

Ta có \(f(A) = A^2 + 3A - 5I\).

Do A là ma trận tam giác dưới nên các giá trị riêng của A là các phần tử trên đường chéo chính, tức là \({\lambda _1} = 2,{\lambda _2} = 1,{\lambda _3} = 1\).

Khi đó các giá trị riêng của \(f(A)\) là \(f({\lambda _1}) = {2^2} + 3.2 - 5 = 5;f({\lambda _2}) = {1^2} + 3.1 - 5 = -1;f({\lambda _3}) = {1^2} + 3.1 - 5 = -1\).

Suy ra \(\det (f(A)) = 5.(-1).(-1) = 5\).

Vậy \(\det {(f(A))^{-1}} = \frac{1}{{\det (f(A))}} = \frac{1}{5}\).