Tìm ma trận X thỏa mãn \(X.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&5\\ 1&3 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2\\ 5&6\\ { - 1}&7 \end{array}} \right].\)

Đầu tiên, ta tính định thức của ma trận A:
\(\begin{aligned}
\det(A) &= i \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2+i & 3 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2+i & 0 \end{vmatrix} \\
&= i(-3 - 0) - (3 - (2+i)) + (0 - (-1)(2+i)) \\
&= -3i - (1-i) + (2+i) \\
&= -3i - 1 + i + 2 + i \\
&= 1 - i
\end{aligned}\)
Ta có det(A) = 1 - i. Bây giờ, ta cần tìm số nguyên dương nhỏ nhất m sao cho det(A^m) là một số thực.
Ta biết rằng det(A^m) = (det(A))^m = (1 - i)^m. Ta cần tìm m nhỏ nhất sao cho (1 - i)^m là một số thực.
Ta chuyển 1 - i về dạng lượng giác: \(1 - i = \sqrt{2} \left( \cos{\frac{-\pi}{4}} + i \sin{\frac{-\pi}{4}} \right)\)
Áp dụng công thức De Moivre, ta có:
\((1 - i)^m = (\sqrt{2})^m \left( \cos{\frac{-m\pi}{4}} + i \sin{\frac{-m\pi}{4}} \right)\)
Để (1 - i)^m là một số thực, phần ảo phải bằng 0, tức là sin(-mπ/4) = 0.
Điều này xảy ra khi -mπ/4 = kπ, với k là một số nguyên.
Vậy, -m/4 = k, hay m = -4k. Vì m là số nguyên dương nhỏ nhất, ta chọn k = -1, suy ra m = 4.
Vậy, m = 4 là số nguyên dương nhỏ nhất để det(A^m) là một số thực.

Để giải phương trình này, ta cần tính định thức của ma trận và giải phương trình đại số thu được. Tuy nhiên, việc tính định thức bằng tay cho ma trận 4x4 khá phức tạp và dễ gây sai sót. Để đơn giản, ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng hoặc cột để đưa ma trận về dạng tam giác trên hoặc tam giác dưới, từ đó tính định thức dễ dàng hơn. Hoặc sử dụng máy tính để tính. Kết quả cuối cùng là x = 4.

Ta có \(f(A) = A^2 + 3A - 5I\).

Do A là ma trận tam giác dưới nên các giá trị riêng của A là các phần tử trên đường chéo chính, tức là \({\lambda _1} = 2,{\lambda _2} = 1,{\lambda _3} = 1\).

Khi đó các giá trị riêng của \(f(A)\) là \(f({\lambda _1}) = {2^2} + 3.2 - 5 = 5;f({\lambda _2}) = {1^2} + 3.1 - 5 = -1;f({\lambda _3}) = {1^2} + 3.1 - 5 = -1\).

Suy ra \(\det (f(A)) = 5.(-1).(-1) = 5\).

Vậy \(\det {(f(A))^{-1}} = \frac{1}{{\det (f(A))}} = \frac{1}{5}\).

Để tính định thức của ma trận A, ta có thể thực hiện các phép biến đổi trên hàng để đơn giản hóa ma trận.

Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1\\
a&b&c\\
{b + c}&{c + a}&{a + b}
\end{array}} \right]\)

Thực hiện phép biến đổi: H3 = H3 - (H2 + a*H1)

Ta có: \(H_3 \rightarrow H_3 - (H_2 + aH_1)\) 

Hàng 3 mới sẽ là: \(b+c - (a + a*1) = b + c - a - a = b + c - a - a\)

\(c+a - (b + a*1) = c + a - b - a = c - b\)

\(a+b - (c + a*1) = a + b - c - a = b - c\)

Tuy nhiên, có một cách tiếp cận đơn giản hơn. Ta có thể phân tích hàng thứ 3 thành tổng của hàng thứ nhất và hàng thứ hai.

Hàng 3 = (b+c, c+a, a+b) = (a+b+c, a+b+c, a+b+c) - (a, b, c) - (0, 0, 0)

Ta nhận thấy rằng H3 = H2 + (0,0,0)

Sử dụng tính chất của định thức, nếu một hàng của ma trận là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác, thì định thức của ma trận đó bằng 0.

Trong trường hợp này, ta có thể viết hàng thứ ba như sau: H3 = H2 + (H1' nào đó).

Trong đó H1' là một hàng tỉ lệ với hàng 1 sao cho khi cộng với H2 thì được H3.

Cụ thể, H3 = (b+c, c+a, a+b) = (a, b, c) + (-a+b+c, a-b+c, a+b-c)

Vì hàng thứ ba là tổng của hàng thứ hai và một tổ hợp tuyến tính của hàng thứ nhất (thực tế là có thể biến đổi hàng thứ 3 thành H3 - H2 - aH1 và kết quả là một hàng có các phần tử tỉ lệ với nhau, suy ra định thức bằng 0.)

Do đó, định thức của ma trận A bằng 0.