1- chuẩn của ma trận A là số lớn nhất trong tổng trị tuyệt đối của từng cột. Tìm 1- chuẩn của ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ - 1}&2\\ 3&7&1\\ 2&{ - 5}&4 \end{array}} \right).\)

Các câu kia sai

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Để tìm 1-chuẩn của ma trận A, ta tính tổng trị tuyệt đối của các phần tử trong mỗi cột, sau đó chọn giá trị lớn nhất trong các tổng này. Cột 1: |5| + |3| + |2| = 5 + 3 + 2 = 10 Cột 2: |-1| + |7| + |-5| = 1 + 7 + 5 = 13 Cột 3: |2| + |1| + |4| = 2 + 1 + 4 = 7 Giá trị lớn nhất trong các tổng là 13. Vậy, 1-chuẩn của ma trận A là 13.

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 1

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 18:

Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Vết của ma trận A^T.A là chuẩn Frobenius của ma trận A. Tìm chuẩn Frobenius của ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&6\\ 2&1&7\\ { - 2}&5&3 \end{array}} \right).\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có: A = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&6\\ 2&1&7\\ { - 2}&5&3 \end{array}} \right).\)

Chuẩn Frobenius của A là: \(\|A\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2}\) hay \(\|A\|_F^2 = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2\)

Tính \(\|A\|_F^2 = 3^2 + 4^2 + 6^2 + 2^2 + 1^2 + 7^2 + (-2)^2 + 5^2 + 3^2 = 9 + 16 + 36 + 4 + 1 + 49 + 4 + 25 + 9 = 153\)

Vậy \(\|A\|_F = \sqrt{153}\)

Câu 19:

Cho vecto đơn vị. Đặt I - u. u^T, vecto X = (1,-2,1)^T. Tính (I - u. u^T).X. Phép biến đổi (I - u. u^T) là phép chiếu vecto X lên mặt phẳng P là mặt phẳng qua gốc O nhận u làm vecto pháp tuyến.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Đầu tiên, ta cần chuẩn hóa vector u thành vector đơn vị. Giả sử u = (a, b, c). Vector đơn vị v sẽ là v = u / ||u||, trong đó ||u|| là độ dài của vector u.
Tiếp theo, ta tính ma trận chiếu P = I - v.v^T, với I là ma trận đơn vị 3x3.
Cuối cùng, ta tính P.X. Kết quả thu được sẽ là hình chiếu của vector X lên mặt phẳng P.

Giả sử u = (1, 1, 1) => ||u|| = sqrt(1² + 1² + 1²) = sqrt(3). Vậy v = (1/sqrt(3), 1/sqrt(3), 1/sqrt(3)).
v.v^T =

\(\begin{bmatrix}
1/3 & 1/3 & 1/3 \\
1/3 & 1/3 & 1/3 \\
1/3 & 1/3 & 1/3
\end{bmatrix}\)

I - v.v^T =

\(\begin{bmatrix}
2/3 & -1/3 & -1/3 \\
-1/3 & 2/3 & -1/3 \\
-1/3 & -1/3 & 2/3
\end{bmatrix}\)

(I - v.v^T).X =

\(\begin{bmatrix}
2/3 & -1/3 & -1/3 \\
-1/3 & 2/3 & -1/3 \\
-1/3 & -1/3 & 2/3
\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}
1 \\
-2 \\
1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
(2/3) + (2/3) - (1/3) \\
(-1/3) - (4/3) - (1/3) \\
(-1/3) + (2/3) + (2/3)
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
3/3 \\
-6/3 \\
3/3
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 \\
-2 \\
1
\end{bmatrix}\)

Với u=(1,1,1), ta nhận thấy không có đáp án nào đúng. Kiểm tra lại đề bài và các đáp án.

Nếu u = (1, -2, 1) => vector X tỉ lệ với u => hình chiếu của X lên mặt phẳng vuông góc với u là vector 0.

Vì không có thông tin gì thêm về vector u, ta không thể kết luận đáp án nào đúng.

Câu 20:

Cho \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\) là một nghiệm của \(\sqrt[n]{1}\). Ma trận vuông F_n = ( fk,j ) cấp n, với f_k,j=z^{(k−1).(j−1)} được gọi là ma trận Fourier. Phép nhân F_n . X được gọi là phép biến đổi Fourier. Tìm biến đổi Fourier của vecto X = ( 2, −1 )^T

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Câu hỏi yêu cầu tìm biến đổi Fourier của vector X = (2, -1)^T. Trong trường hợp này, n=2. Vậy z = cos(2π/2) - i.sin(2π/2) = cos(π) - i.sin(π) = -1.

Ma trận Fourier F₂ có dạng:

F₂ = (f_k,j) với f_k,j = z^(k-1)(j-1). Do đó:

f_1,1 = z^(1-1)(1-1) = z⁰ = 1
f_1,2 = z^(1-1)(2-1) = z⁰ = 1
f_2,1 = z^(2-1)(1-1) = z⁰ = 1
f_2,2 = z^(2-1)(2-1) = z¹ = -1

Vậy F₂ = [[1, 1], [1, -1]].

Biến đổi Fourier của X là F₂.X = [[1, 1], [1, -1]] . [[2], [-1]] = [[1*2 + 1*(-1)], [1*2 + (-1)*(-1)]] = [[2 - 1], [2 + 1]] = [[1], [3]].

Vậy biến đổi Fourier của X là (1, 3)^T.

Câu 21:

Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Cho ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3&2\\ 4&2&4\\ 3&2&2 \end{array}} \right)\) và \(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ - 2}&4\\ 1&3&7\\ 6&4&5 \end{array}} \right)\). Tìm vết của ma trận AB.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm vết của ma trận AB, trước tiên ta cần tính ma trận AB.

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&3&2\\
4&2&4\\
3&2&2
\end{array}} \right)\) và \(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
5&{ - 2}&4\\
1&3&7\\
6&4&5
\end{array}} \right)\)

\(AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1*5 + 3*1 + 2*6& 1*(-2) + 3*3 + 2*4 & 1*4 + 3*7 + 2*5 \\
4*5 + 2*1 + 4*6 & 4*(-2) + 2*3 + 4*4 & 4*4 + 2*7 + 4*5 \\
3*5 + 2*1 + 2*6 & 3*(-2) + 2*3 + 2*4 & 3*4 + 2*7 + 2*5
\end{array}} \right)\)

\(AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
5 + 3 + 12 & -2 + 9 + 8 & 4 + 21 + 10 \\
20 + 2 + 24 & -8 + 6 + 16 & 16 + 14 + 20 \\
15 + 2 + 12 & -6 + 6 + 8 & 12 + 14 + 10
\end{array}} \right)\)

\(AB = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
20 & 15 & 35 \\
46 & 14 & 50 \\
29 & 8 & 36
\end{array}} \right)\)

Vết của ma trận AB là tổng các phần tử trên đường chéo chính: 20 + 14 + 36 = 70.

Vậy, vết của ma trận AB là 70.

Câu 22:

Tìm ma trận X thỏa mãn \(X.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&5\\ 1&3 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2\\ 5&6\\ { - 1}&7 \end{array}} \right].\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Gọi A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&5\\1&3 \end{array}} \right]\) và B = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2\\5&6\\{ - 1}&7 \end{array}} \right]\). Ta cần tìm ma trận X sao cho X.A = B. Để tìm X, ta nhân cả hai vế của phương trình với ma trận nghịch đảo của A (nếu có) từ bên phải.

Tính định thức của A: det(A) = (2*3) - (5*1) = 6 - 5 = 1. Vì định thức khác 0, A khả nghịch.

Tìm ma trận nghịch đảo của A: \(A^{-1} = \frac{1}{det(A)}.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{-5}\\ {-1}&2 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{-5}\\ {-1}&2 \end{array}} \right]\)

Khi đó, X = B.\(A^{-1}\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2\\5&6\\{ - 1}&7 \end{array}} \right] . \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{-5}\\ {-1}&2 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} (4*3 + 2*(-1))&(4*(-5) + 2*2)\\ (5*3 + 6*(-1))&(5*(-5) + 6*2)\\ ((-1)*3 + 7*(-1))&((-1)*(-5) + 7*2) \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {10}&{-16}\\ 9&{-13}\\ {-10}&{19} \end{array}} \right]\)

Vậy ma trận X là \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {10}&{-16}\\ 9&{-13}\\ {-10}&{19} \end{array}} \right]\). Tuy nhiên, đáp án này không khớp với bất kỳ đáp án nào đã cho. Có lẽ đã có một lỗi trong quá trình tính toán hoặc trong các phương án trả lời. Kiểm tra lại phép nhân ma trận:

(5*(-5) + 6*2) = -25 + 12 = -13 chứ không phải -18.

Vì không có đáp án đúng, câu trả lời là "3 câu kia đều sai".

Câu 23:

Cho \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} i&1&1\\ 1&{ - 1}&1\\ {2 + i}&0&3 \end{array}} \right)\) với i² = -1. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất m để det(Am) là một số thực.

Lời giải: