Cho vecto đơn vị. Đặt I - u. u^T, vecto X = (1,-2,1)^T. Tính (I - u. u^T).X. Phép biến đổi (I - u. u^T) là phép chiếu vecto X lên mặt phẳng P là mặt phẳng qua gốc O nhận u làm vecto pháp tuyến.

Câu hỏi yêu cầu tìm biến đổi Fourier của vector X = (2, -1)^T. Trong trường hợp này, n=2. Vậy z = cos(2π/2) - i.sin(2π/2) = cos(π) - i.sin(π) = -1. Ma trận Fourier F₂ có dạng: F₂ = (f_k,j) với f_k,j = z^(k-1)(j-1). Do đó: f_1,1 = z^(1-1)(1-1) = z⁰ = 1 f_1,2 = z^(1-1)(2-1) = z⁰ = 1 f_2,1 = z^(2-1)(1-1) = z⁰ = 1 f_2,2 = z^(2-1)(2-1) = z¹ = -1 Vậy F₂ = [[1, 1], [1, -1]]. Biến đổi Fourier của X là F₂.X = [[1, 1], [1, -1]] . [[2], [-1]] = [[1*2 + 1*(-1)], [1*2 + (-1)*(-1)]] = [[2 - 1], [2 + 1]] = [[1], [3]]. Vậy biến đổi Fourier của X là (1, 3)^T.

Để tìm ma trận X, ta có phương trình:

\(X.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&5\\
1&3
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
4&2\\
5&6\\
{ - 1}&7
\end{array}} \right]\)

Đặt \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&5\\
1&3
\end{array}} \right]\) và \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
4&2\\
5&6\\
{ - 1}&7
\end{array}} \right]\). Khi đó, phương trình trở thành \(X.A = B\).

Ta cần tìm ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu là \(A^{-1}\). Ta có:

\(det(A) = (2)(3) - (5)(1) = 6 - 5 = 1\)

Vậy, \(A^{-1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
3&{-5}\\
{-1}&2
\end{array}} \right]\)

Nhân cả hai vế của phương trình \(X.A = B\) với \(A^{-1}\) từ bên phải, ta được:

\(X.A.A^{-1} = B.A^{-1}\)

\(X = B.A^{-1}\)

Thay các ma trận vào, ta có:

\(X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
4&2\\
5&6\\
{ - 1}&7
\end{array}} \right].\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
3&{-5}\\
{-1}&2
\end{array}} \right]\)

\(X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
(4)(3) + (2)(-1)&(4)(-5) + (2)(2)\\
(5)(3) + (6)(-1)&(5)(-5) + (6)(2)\\
(-1)(3) + (7)(-1)&(-1)(-5) + (7)(2)
\end{array}} \right]\)

\(X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
12 - 2&{-20 + 4}\\
15 - 6&{-25 + 12}\\
{-3 - 7}&{5 + 14}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}&{-16}\\
9&{-13}\\
{-10}&{19}
\end{array}} \right]\)

Vậy, đáp án đúng là \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}&{ - 16}\\
9&{ - 13}\\
{ - 10}&{19}
\end{array}} \right]\)

Đầu tiên, ta tính định thức của ma trận A:
\(\begin{aligned}
\det(A) &= i \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2+i & 3 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2+i & 0 \end{vmatrix} \\
&= i(-3 - 0) - (3 - (2+i)) + (0 - (-1)(2+i)) \\
&= -3i - (1-i) + (2+i) \\
&= -3i - 1 + i + 2 + i \\
&= 1 - i
\end{aligned}\)
Ta có det(A) = 1 - i. Bây giờ, ta cần tìm số nguyên dương nhỏ nhất m sao cho det(A^m) là một số thực.
Ta biết rằng det(A^m) = (det(A))^m = (1 - i)^m. Ta cần tìm m nhỏ nhất sao cho (1 - i)^m là một số thực.
Ta chuyển 1 - i về dạng lượng giác: \(1 - i = \sqrt{2} \left( \cos{\frac{-\pi}{4}} + i \sin{\frac{-\pi}{4}} \right)\)
Áp dụng công thức De Moivre, ta có:
\((1 - i)^m = (\sqrt{2})^m \left( \cos{\frac{-m\pi}{4}} + i \sin{\frac{-m\pi}{4}} \right)\)
Để (1 - i)^m là một số thực, phần ảo phải bằng 0, tức là sin(-mπ/4) = 0.
Điều này xảy ra khi -mπ/4 = kπ, với k là một số nguyên.
Vậy, -m/4 = k, hay m = -4k. Vì m là số nguyên dương nhỏ nhất, ta chọn k = -1, suy ra m = 4.
Vậy, m = 4 là số nguyên dương nhỏ nhất để det(A^m) là một số thực.

Để giải phương trình này, ta cần tính định thức của ma trận và giải phương trình đại số thu được. Tuy nhiên, việc tính định thức bằng tay cho ma trận 4x4 khá phức tạp và dễ gây sai sót. Để đơn giản, ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng hoặc cột để đưa ma trận về dạng tam giác trên hoặc tam giác dưới, từ đó tính định thức dễ dàng hơn. Hoặc sử dụng máy tính để tính. Kết quả cuối cùng là x = 4.