Cho ma trận A: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1\\ 2&2&2&2\\ 3&3&3&3\\ 1&2&{ - 1}&3 \end{array}} \right]\). Tìm hạng của ma trận phụ hợp P_A?

Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0.

Ta có:

\(\begin{aligned}A &= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&3&5\\ 3&{ - 2}&6\\ 2&{ - 7}&7 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&5&1\\ 3&4&6\\ m&1&4 \end{array}} \right]\\&= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {8 + 9 + 5m}&{20 + 12 + 5}&{4 + 18 + 20}\\ {6 - 6 + 6m}&{15 - 8 + 6}&{3 - 12 + 24}\\ {4 - 21 + 7m}&{10 - 28 + 7}&{2 - 42 + 28} \end{array}} \right]\\&= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {17 + 5m}&{37}&{42}\\ {6m}&{13}&{15}\\ {7m - 17}&{ - 11}&{ - 12} \end{array}} \right]\end{aligned}\)

Để A khả nghịch thì \(\det (A) \ne 0\)

\(\begin{aligned}\det (A)& = (17 + 5m)[13*(-12) - 15*(-11)] - 37[6m*(-12) - 15*(7m - 17)] + 42[6m*(-11) - 13*(7m - 17)]\\&= (17 + 5m)(-156 + 165) - 37(-72m - 105m + 255) + 42(-66m - 91m + 221)\\&= (17 + 5m)(9) - 37(-177m + 255) + 42(-157m + 221)\\&= 153 + 45m + 6549m - 9435 - 6594m + 9282\\&= (45 + 6549 - 6594)m + 153 - 9435 + 9282\\&= 0m + 0 = 0\end{aligned}\)

Vậy \(\det (A) = 0 \) với mọi m.

Vậy không tồn tại m để A khả nghịch

Phép biến đổi sơ cấp trên hàng tương đương với việc nhân ma trận A với một ma trận vuông cấp 3 từ bên trái. Ma trận này được tạo ra bằng cách thực hiện phép biến đổi tương ứng trên ma trận đơn vị cấp 3.

Phép biến đổi: Cộng vào hàng 3, hàng 1 nhân với 2. Điều này có nghĩa là hàng 3 mới sẽ bằng hàng 3 cũ cộng với 2 lần hàng 1. Ta thực hiện phép biến đổi này trên ma trận đơn vị:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{array}} \right]\)

Hàng 3 mới = Hàng 3 cũ + 2 * Hàng 1 = (0, 0, 1) + 2 * (1, 0, 0) = (2, 0, 1)

Vậy ma trận cần tìm là:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0\\
0&1&0\\
2&0&1
\end{array}} \right]\)

Để tìm chỉ số của ma trận A, ta cần tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho r(A^k) = r(A^(k+1)). Điều này có nghĩa là hạng của ma trận A^k không thay đổi khi nhân thêm A. Ta có ma trận A như sau: A = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&0&{ - 4}\\ 4&2&4\\ 3&2&2 \end{array}} \right)\) Tính A^2: A^2 = A * A = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&0&{ - 4}\\ 4&2&4\\ 3&2&2 \end{array}} \right)\) * \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&0&{ - 4}\\ 4&2&4\\ 3&2&2 \end{array}} \right)\) = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} -8 & -8 & -4\\ 20 & 12 & 4\\ 14 & 8 & 0 \end{array}} \right)\) Tính A^3: A^3 = A^2 * A = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} -8 & -8 & -4\\ 20 & 12 & 4\\ 14 & 8 & 0 \end{array}} \right)\) * \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&0&{ - 4}\\ 4&2&4\\ 3&2&2 \end{array}} \right)\) = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} -12 & -24 & -24\\ -4 & 32 & 0\\ -4 & 16 & -24 \end{array}} \right)\) Để xác định hạng của các ma trận này, ta có thể sử dụng các phương pháp như biến đổi sơ cấp trên hàng hoặc cột để đưa ma trận về dạng bậc thang. Hoặc, có thể sử dụng phần mềm máy tính để tính toán hạng của các ma trận. Hạng của A là 2 (có thể kiểm tra bằng cách biến đổi sơ cấp hoặc tính định thức của các ma trận con 2x2). Hạng của A^2 là 2. Hạng của A^3 là 2. Vì r(A) = 2 và r(A^2) = 2, suy ra r(A) = r(A^2). Vậy k = 1 thỏa mãn r(A^k) = r(A^(k+1)). Vậy chỉ số của ma trận A là 1.