Cho ma trận A: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1&1\\ 2&2&2&2\\ 3&3&3&3\\ 1&2&{ - 1}&3 \end{array}} \right]\). Tìm hạng của ma trận phụ hợp PA?

Câu 12:

Với giá trị nào của m thì \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&3&5\\ 3&{ - 2}&6\\ 2&{ - 7}&7 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&5&1\\ 3&4&6\\ m&1&4 \end{array}} \right]\) khả nghịch?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để ma trận A khả nghịch thì det(A) phải khác 0. Ta có det(A) = det(M) * det(N), với M và N là hai ma trận trong tích. Vậy ta cần tính định thức của hai ma trận này.

Ma trận M là:
\(M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&3&5\\ 3&{ - 2}&6\\ 2&{ - 7}&7 \end{array}} \right]\)

det(M) = 4*(-2*7 - 6*(-7)) - 3*(3*7 - 6*2) + 5*(3*(-7) - (-2)*2) = 4*(-14 + 42) - 3*(21 - 12) + 5*(-21 + 4) = 4*28 - 3*9 + 5*(-17) = 112 - 27 - 85 = 0

Vì det(M) = 0, suy ra det(A) = det(M) * det(N) = 0 * det(N) = 0 với mọi giá trị của det(N). Điều này có nghĩa là det(A) = 0 với mọi m, và do đó A không khả nghịch với mọi m.

Vậy, không tồn tại giá trị m nào để A khả nghịch.

Câu 13:

Cho \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \frac{\pi }{6}}&{ - \sin \frac{\pi }{6}}\\ {\sin \frac{\pi }{6}}&{\cos \frac{\pi }{6}} \end{array}} \right],X = \in {M_{2 \times 1}}\left[ R \right]\). Thực hiện phép nhân AX, ta thấy:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ma trận A có dạng ma trận quay với góc quay \(\frac{\pi}{6}\). Khi nhân ma trận A với vector X, ta được một vector mới là kết quả của việc quay vector X ngược chiều kim đồng hồ một góc \(\frac{\pi}{6}\). Do đó, đáp án đúng là "Vecto X quay ngược chiều kim đồng hồ một góc bằng \(\frac{\pi }{6}\)".

Câu 14:

Cho \(A \in {M_{3 \times 4}}\left[ {{\rm{ }}R{\rm{ }}} \right]\). Sử dụng phép biến đổi sơ cấp: Cộng vào hàng thứ 3, hàng 1 đã được nhân với số 2. Phép biến đổi trên tương đương với nhân bên trái ma trận A cho ma trận nào sau đây.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

The elementary row operation "Add 2 times row 1 to row 3" corresponds to multiplying the matrix A on the left by an elementary matrix. This elementary matrix is created by performing the corresponding transformation on the 3x3 identity matrix. The 3x3 identity matrix is [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]. Performing the operation "Add 2 times row 1 to row 3" on the identity matrix results in the matrix [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [2, 0, 1]].

Câu 15:

Cho \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&3\\ 2&3&0&4\\ 4&{ - 2}&5&6\\ { - 1}&{k + 1}&4&{k + 5} \end{array}} \right]\). Với giá trị nào của k thì \(r(A) \ge 3\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có ma trận A là ma trận vuông cấp 4. Để tìm điều kiện của k để r(A) ≥ 3, ta cần xét định thức của A. Nếu det(A) ≠ 0 thì r(A) = 4, suy ra r(A) ≥ 3. Nếu det(A) = 0, ta cần xét các định thức con cấp 3 của A. Nếu tồn tại một định thức con cấp 3 khác 0 thì r(A) = 3, suy ra r(A) ≥ 3. Nếu tất cả các định thức con cấp 3 đều bằng 0 thì r(A) < 3.

Tính định thức của A bằng cách khai triển theo cột 3:
det(A) = 5 * det([[1, 0, 3], [2, 3, 4], [-1, k+1, k+5]])
= 5 * [1 * (3(k+5) - 4(k+1)) - 0 + 3 * (2(k+1) - 3(-1))]
= 5 * [3k + 15 - 4k - 4 + 3(2k + 2 + 3)]
= 5 * [-k + 11 + 6k + 15]
= 5 * [5k + 26]

Để det(A) ≠ 0 thì 5k + 26 ≠ 0 hay k ≠ -26/5.

Nếu k = -26/5 thì det(A) = 0 và ta cần xét các định thức con cấp 3. Tuy nhiên, để r(A) ≥ 3 thì chỉ cần tồn tại một định thức con cấp 3 khác 0.

Xét định thức con tạo bởi các hàng 1, 2, 3 và các cột 1, 2, 4:
det([[1, 0, 3], [2, 3, 4], [4, -2, 6]]) = 1(18+8) - 0 + 3(-4-12) = 26 - 48 = -22 ≠ 0

Như vậy, với mọi k thì r(A) ≥ 3.

Vậy đáp án đúng là ∀k.

Câu 16:

Cho ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&0&{ - 4}\\ 4&2&4\\ 3&2&2 \end{array}} \right)\). Số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa \(r({A^k}) = r({A^{k + 1}})\) gọi là chỉ số của ma trận A. Tìm chỉ số của ma trận A.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm chỉ số của ma trận A, ta cần tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho r(A^k) = r(A^(k+1)). Điều này có nghĩa là hạng của ma trận A^k không thay đổi khi nhân thêm A.

Ta có ma trận A như sau:

A = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&0&{ - 4}\\
4&2&4\\
3&2&2
\end{array}} \right)\)

Tính A^2:
A^2 = A * A = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&0&{ - 4}\\
4&2&4\\
3&2&2
\end{array}} \right)\) * \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&0&{ - 4}\\
4&2&4\\
3&2&2
\end{array}} \right)\) = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
-8 & -8 & -4\\
20 & 12 & 4\\
14 & 8 & 0
\end{array}} \right)\)

Tính A^3:
A^3 = A^2 * A = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
-8 & -8 & -4\\
20 & 12 & 4\\
14 & 8 & 0
\end{array}} \right)\) * \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&0&{ - 4}\\
4&2&4\\
3&2&2
\end{array}} \right)\) = \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
-12 & -24 & -24\\
-4 & 32 & 0\\
-4 & 16 & -24
\end{array}} \right)\)

Để xác định hạng của các ma trận này, ta có thể sử dụng các phương pháp như biến đổi sơ cấp trên hàng hoặc cột để đưa ma trận về dạng bậc thang. Hoặc, có thể sử dụng phần mềm máy tính để tính toán hạng của các ma trận.

Hạng của A là 2 (có thể kiểm tra bằng cách biến đổi sơ cấp hoặc tính định thức của các ma trận con 2x2).
Hạng của A^2 là 2.
Hạng của A^3 là 2.

Vì r(A) = 2 và r(A^2) = 2, suy ra r(A) = r(A^2). Vậy k = 1 thỏa mãn r(A^k) = r(A^(k+1)).

Vậy chỉ số của ma trận A là 1.

Câu 17:

1- chuẩn của ma trận A là số lớn nhất trong tổng trị tuyệt đối của từng cột. Tìm 1- chuẩn của ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ - 1}&2\\ 3&7&1\\ 2&{ - 5}&4 \end{array}} \right).\)

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 18:

Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Vết của ma trận A^T.A là chuẩn Frobenius của ma trận A. Tìm chuẩn Frobenius của ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&6\\ 2&1&7\\ { - 2}&5&3 \end{array}} \right).\)

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 19:

Cho vecto đơn vị. Đặt I - u. u^T, vecto X = (1,-2,1)^T. Tính (I - u. u^T).X. Phép biến đổi (I - u. u^T) là phép chiếu vecto X lên mặt phẳng P là mặt phẳng qua gốc O nhận u làm vecto pháp tuyến.

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 20:

Cho \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\) là một nghiệm của \(\sqrt[n]{1}\). Ma trận vuông F_n = ( fk,j ) cấp n, với f_k,j=z^{(k−1).(j−1)} được gọi là ma trận Fourier. Phép nhân F_n . X được gọi là phép biến đổi Fourier. Tìm biến đổi Fourier của vecto X = ( 2, −1 )^T

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 21:

Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Cho ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3&2\\ 4&2&4\\ 3&2&2 \end{array}} \right)\) và \(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&{ - 2}&4\\ 1&3&7\\ 6&4&5 \end{array}} \right)\). Tìm vết của ma trận AB.