Tìm \(\sqrt 4\) trong trường hợp số phức 

Ta có (-1 + i) = \(\sqrt{2}\)(cos(3π/4) + i sin(3π/4)).

Do đó, (-1 + i)^n = (\(\sqrt{2}\))^n (cos(3nπ/4) + i sin(3nπ/4)).

Để (-1 + i)^n là một số thực, ta cần sin(3nπ/4) = 0.

Điều này xảy ra khi 3nπ/4 = kπ, với k là một số nguyên.

Suy ra 3n = 4k, hay n = (4/3)k.

Vì n là một số nguyên dương nhỏ nhất, ta chọn k = 3, suy ra n = 4.

Vậy, n = 4 là số nguyên dương nhỏ nhất để (-1 + i)^n là một số thực.

Ta có:
\(z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{1 + i} = \frac{(1 + i\sqrt{3})(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1 + \sqrt{3} + i(\sqrt{3} - 1)}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} + i\frac{\sqrt{3} - 1}{2}\)
Gọi \(\varphi\) là argument của z. Ta có:
\(\tan(\varphi) = \frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{2}}{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{3 - 1} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}\)
Vì \(\tan(\frac{\pi}{12}) = 2 - \sqrt{3}\), nên \(\varphi = \frac{\pi}{12}\).
Số phức \(1 + i\sqrt{3}\) có argument là \(\frac{\pi}{3}\)
Số phức \(1 + i\) có argument là \(\frac{\pi}{4}\)
Vậy argument của z là \(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}\)
Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng khớp, đáp án gần nhất là \(\frac{7\pi}{12}\) nhưng vẫn không đúng.
Ta có \(1 + i \sqrt{3} = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3}))\)
\(1 + i = \sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{\pi}{4}))\)
\(z = \frac{2}{\sqrt{2}} (\cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4})) = \sqrt{2} (\cos(\frac{\pi}{12}) + i \sin(\frac{\pi}{12}))\)
Vậy argument của z là \(\frac{\pi}{12}\).
Có lẽ các đáp án đã bị sai lệch.

\(\sqrt{-9} = \sqrt{9 \cdot (-1)} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{-1} = 3i\). Vì trong trường số phức, \(i^2 = -1\), nên \(\sqrt{-1} = i\) hoặc \(\sqrt{-1} = -i\). Do đó, \(\sqrt{-9} = 3i\) hoặc \(\sqrt{-9} = -3i\). Vậy, z₁ = 3i; z₂ = −3i.