Cho không gian vecto V có số chiều bằng 3, biết {x, y} độc lập tuyến tính, z không là tổ hợp tuyến tính của {x, y} . Khẳng định nào sau đây đúng?
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Vì V có số chiều bằng 3, và {x, y} độc lập tuyến tính, z không là tổ hợp tuyến tính của {x, y}, suy ra {x, y, z} độc lập tuyến tính. Do đó, {x, y, z} là một cơ sở của V.
Xét đáp án 1: x + y, x − y, x + y + 3z là cơ sở của V. Ta cần kiểm tra xem ba vector này có độc lập tuyến tính không. Giả sử a(x+y) + b(x-y) + c(x+y+3z) = 0. Điều này tương đương với (a+b+c)x + (a-b+c)y + 3cz = 0. Vì {x, y, z} độc lập tuyến tính, ta có hệ phương trình: a+b+c = 0, a-b+c = 0, 3c = 0. Giải hệ này, ta được c = 0, a + b = 0, a - b = 0. Suy ra a = 0 và b = 0. Vậy a = b = c = 0, tức là ba vector độc lập tuyến tính. Do đó, x + y, x − y, x + y + 3z là cơ sở của V.
Xét đáp án 2: {x, y, z} không sinh ra V. Điều này sai vì {x, y, z} là cơ sở của V nên chắc chắn sinh ra V.
Xét đáp án 3: V =< x, y, x + 2y >. Điều này sai vì x + 2y là tổ hợp tuyến tính của x và y, nên không gian sinh bởi {x, y, x + 2y} chỉ là không gian sinh bởi {x, y}, có số chiều là 2, không thể bằng V có số chiều 3.
Vậy, đáp án đúng là đáp án 1.
Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!
50 câu hỏi 60 phút