Cho \(A \in \mathop M\nolimits_3 {\rm{[}}R{\rm{]}},\det (A) \ne 0\). Giải phương trình ma trận AX=B.

Để một hệ vectơ có thể bổ sung để tạo thành cơ sở của R4, hệ đó phải độc lập tuyến tính. Ta xét từng hệ:

* Hệ M: M = {(1,1,1,1), (-1,0,2,-3), (3,3,1,0)}. Để kiểm tra tính độc lập tuyến tính, ta lập định thức của ma trận tạo bởi các vectơ này. Tuy nhiên, vì đây là các vectơ trong R4, ta cần bổ sung thêm một vectơ nữa để tạo thành ma trận vuông. Giả sử hệ M độc lập tuyến tính và khi bổ sung một vectơ thích hợp, ta có thể tạo thành cơ sở của R4.

* Hệ N: N = {(-2,4,1,1), (0,0,0,0), (3,1,7,3)}. Hệ này chứa vectơ (0,0,0,0), do đó hệ N phụ thuộc tuyến tính và không thể bổ sung để tạo thành cơ sở của R4.

* Hệ P: P = {(1,1,1,1), (2,2,2,2), (3,2,0,1)}. Ta thấy vectơ thứ hai (2,2,2,2) gấp đôi vectơ thứ nhất (1,1,1,1), do đó hệ P phụ thuộc tuyến tính và không thể bổ sung để tạo thành cơ sở của R4.

Vậy, chỉ có hệ M có khả năng bổ sung để tạo thành cơ sở của R4.

Lưu ý rằng, để kiểm tra chắc chắn hệ M có thể bổ sung thành cơ sở của R4, ta cần chứng minh M độc lập tuyến tính. Tuy nhiên, dựa trên các lựa chọn đáp án, ta thấy chỉ có đáp án "Chỉ có hệ M" là hợp lý nhất vì hai hệ N và P chắc chắn không thỏa mãn.

V là không gian sinh bởi các vectơ (1, 1, 1), (2, -1, 3) và (1, 0, 1). Để x = (2, 1, m) thuộc V, x phải biểu diễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ sinh. Tức là, tồn tại các số a, b, c sao cho:
(2, 1, m) = a(1, 1, 1) + b(2, -1, 3) + c(1, 0, 1)
Điều này dẫn đến hệ phương trình:
a + 2b + c = 2
a - b = 1
a + 3b + c = m

Từ phương trình thứ hai, ta có a = b + 1. Thay vào phương trình thứ nhất và thứ ba:
(b + 1) + 2b + c = 2 => 3b + c = 1
(b + 1) + 3b + c = m => 4b + c + 1 = m

Từ 3b + c = 1 suy ra c = 1 - 3b. Thay vào 4b + c + 1 = m:
4b + (1 - 3b) + 1 = m => b + 2 = m => b = m - 2
Khi đó, a = b + 1 = m - 2 + 1 = m - 1
c = 1 - 3b = 1 - 3(m - 2) = 1 - 3m + 6 = 7 - 3m

Vậy, với mọi giá trị của m, ta đều có thể tìm được a, b, c thỏa mãn. Do đó, x thuộc V với mọi m.

Để M sinh ra R^3, ta cần M chứa một cơ sở của R^3. Điều này có nghĩa là phải có 3 vector độc lập tuyến tính trong M. Vì (1,1,1), (1,2,3), (0,1,2) đã là 3 vector độc lập tuyến tính (dễ dàng kiểm tra bằng định thức khác 0 của ma trận tạo bởi 3 vector này), nên (0,2,k) phải phụ thuộc tuyến tính vào 3 vector này để M không sinh ra R^3. Tuy nhiên, do 3 vector (1,1,1), (1,2,3), (0,1,2) đã độc lập tuyến tính, nên nếu (0,2,k) làm cho 4 vector này độc lập tuyến tính, thì M sẽ sinh ra R^3. Ngược lại, nếu (0,2,k) phụ thuộc tuyến tính vào 3 vector kia thì M không sinh ra R^3. Ta xét định thức của ma trận tạo bởi 3 vector (1,1,1), (1,2,3), (0,1,2) và (0,2,k):\nXét ma trận A = [[1, 1, 1], [1, 2, 3], [0, 1, 2]]\n det(A) = 1*(4-3) - 1*(2-0) + 1*(1-0) = 1 - 2 + 1 = 0\nNhận thấy rằng (1,2,3) = (1,1,1) + (0,1,2). Vì vậy, 3 vector này không độc lập tuyến tính.\nĐể M sinh ra R^3 thì 3 vector (1,1,1), (1,2,3), (0,1,2) phải độc lập tuyến tính, tức là det([[1,1,1],[1,2,3],[0,1,2]]) != 0. Tuy nhiên, det([[1,1,1],[1,2,3],[0,1,2]]) = 1*(4-3)-1*(2-0)+1*(1-0) = 1-2+1 = 0. Do đó (1,1,1), (1,2,3), (0,1,2) không độc lập tuyến tính và không tạo thành cơ sở của R^3.\nĐể M sinh ra R^3, ta cần (0,2,k) không thuộc span{(1,1,1),(1,2,3),(0,1,2)}. Gọi v1=(1,1,1), v2=(1,2,3), v3=(0,1,2). Nhận thấy v2=v1+v3. Do đó span{v1,v2,v3} = span{v1,v3}.\nXét hệ phương trình a(1,1,1)+b(0,1,2) = (0,2,k). Ta có a=0, a+b=2, a+2b=k => b=2, k=4. Vậy nếu k=4 thì (0,2,k) thuộc span{v1,v2,v3}.\nĐể M sinh ra R^3 thì k phải khác 4.

Vì V có số chiều bằng 3, và {x, y} độc lập tuyến tính, z không là tổ hợp tuyến tính của {x, y}, suy ra {x, y, z} độc lập tuyến tính. Do đó, {x, y, z} là một cơ sở của V.

Xét đáp án 1: x + y, x − y, x + y + 3z là cơ sở của V. Ta cần kiểm tra xem ba vector này có độc lập tuyến tính không. Giả sử a(x+y) + b(x-y) + c(x+y+3z) = 0. Điều này tương đương với (a+b+c)x + (a-b+c)y + 3cz = 0. Vì {x, y, z} độc lập tuyến tính, ta có hệ phương trình: a+b+c = 0, a-b+c = 0, 3c = 0. Giải hệ này, ta được c = 0, a + b = 0, a - b = 0. Suy ra a = 0 và b = 0. Vậy a = b = c = 0, tức là ba vector độc lập tuyến tính. Do đó, x + y, x − y, x + y + 3z là cơ sở của V.

Xét đáp án 2: {x, y, z} không sinh ra V. Điều này sai vì {x, y, z} là cơ sở của V nên chắc chắn sinh ra V.

Xét đáp án 3: V =< x, y, x + 2y >. Điều này sai vì x + 2y là tổ hợp tuyến tính của x và y, nên không gian sinh bởi {x, y, x + 2y} chỉ là không gian sinh bởi {x, y}, có số chiều là 2, không thể bằng V có số chiều 3.

Vậy, đáp án đúng là đáp án 1.