Tìm tất cả m để hệ phương trình sau tương đương:
\(\left\{ \begin{array}{l} x + y + z + 2t = 1{\rm{ }}\\ x + 3y + 4z + 5t = 3{\rm{ }}\\ 3x + 2y + 2z + 7t = 5 \end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 3z + 3t = 2{\rm{ }}\\ 2x + y + z{\rm{ }} + {\rm{ }}5t = 4{\rm{ }}\\ 5x + 4y + 4z + 11t = 7{\rm{ }}\\ 3x + 6y + 9z + mt = 6 \end{array} \right.\)
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Để hai hệ phương trình tương đương, chúng phải có cùng tập nghiệm. Ta biến đổi hệ thứ nhất:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z + 2t = 1{\rm{ }}\\
x + 3y + 4z + 5t = 3{\rm{ }}\\
3x + 2y + 2z + 7t = 5
\end{array} \right.\)
Lấy phương trình (2) trừ phương trình (1), ta được: \(2y + 3z + 3t = 2\).
Lấy phương trình (3) trừ 3 lần phương trình (1), ta được: \(-y - z + t = 2\).
Vậy hệ (1) tương đương với:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z + 2t = 1{\rm{ }}\\
2y + 3z + 3t = 2{\rm{ }}\\
- y - z + t = 2
\end{array} \right.\)
Nhân phương trình (3) với 2 rồi cộng với phương trình (2), ta được: \(5t = 6\) hay \(t = \frac{6}{5}\).
Thay \(t = \frac{6}{5}\) vào phương trình (3), ta được: \( - y - z = 2 - \frac{6}{5} = \frac{4}{5}\) hay \(y + z = - \frac{4}{5}\).
Thay \(t = \frac{6}{5}\) và \(y + z = - \frac{4}{5}\) vào phương trình (1), ta được:
\(x - \frac{4}{5} + 2.\frac{6}{5} = 1\) hay \(x = 1 + \frac{4}{5} - \frac{12}{5} = \frac{-3}{5}\).
Vậy nghiệm của hệ (1) có dạng: \((x, y, z, t) = ( - \frac{3}{5}, y, - \frac{4}{5} - y, \frac{6}{5})\).
Ta xét hệ thứ hai:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y + 3z + 3t = 2{\rm{ }}\\
2x + y + z{\rm{ }} + {\rm{ }}5t = 4{\rm{ }}\\
5x + 4y + 4z + 11t = 7{\rm{ }}\\
3x + 6y + 9z + mt = 6
\end{array} \right.\)
Thay \((x, y, z, t) = ( - \frac{3}{5}, y, - \frac{4}{5} - y, \frac{6}{5})\) vào các phương trình của hệ (2):
(1): \(- \frac{3}{5} + 2y + 3( - \frac{4}{5} - y) + 3.\frac{6}{5} = 2\) hay \(-y - \frac{3}{5} - \frac{12}{5} + \frac{18}{5} = 2\) hay \(-y + \frac{3}{5} = 2\) hay \(y = - \frac{7}{5}\).
(2): \(2( - \frac{3}{5}) + y + ( - \frac{4}{5} - y) + 5.\frac{6}{5} = 4\) hay \(- \frac{6}{5} - \frac{4}{5} + \frac{30}{5} = 4\) hay \(4 = 4\) (luôn đúng).
(3): \(5( - \frac{3}{5}) + 4y + 4( - \frac{4}{5} - y) + 11.\frac{6}{5} = 7\) hay \(-3 - \frac{16}{5} + \frac{66}{5} = 7\) hay \(- \frac{15}{5} - \frac{16}{5} + \frac{66}{5} = \frac{35}{5}\) hay \(\frac{35}{5} = \frac{35}{5}\) (luôn đúng).
(4): \(3( - \frac{3}{5}) + 6y + 9( - \frac{4}{5} - y) + m.\frac{6}{5} = 6\) hay \(- \frac{9}{5} - 3y - \frac{36}{5} + \frac{6m}{5} = 6\) hay \(-3y - 9 + \frac{6m}{5} = 6\) hay \(\frac{6m}{5} = 15 + 3y\) hay \(\frac{6m}{5} = 15 + 3( - \frac{7}{5}) = 15 - \frac{21}{5} = \frac{54}{5}\) hay \(6m = 54\) hay \(m = 9\).
Vậy \(m = 9\) thì hai hệ phương trình tương đương.
Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!
50 câu hỏi 60 phút
