Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {{e^{1/x}} + \frac{1}{x}} \right)^x}\)

ln 2 - e

e²

e^-2

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Để tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {{e^{1/x}} + \frac{1}{x}} \right)^x}\), ta có thể sử dụng khai triển Taylor cho \(e^{1/x}\) khi \(x \to \infty\). Cụ thể, \(e^{1/x} = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{2{x^2}}} + O\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)\). Do đó, biểu thức trở thành: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{2{x^2}}} + \frac{1}{x} + O\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right)^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{{2{x^2}}} + O\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right)^x}\) Ta có thể viết lại như sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{2}{x} + O\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)} \right)^x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{2}{x}} \right)^x} = {e^2}\) Vậy giới hạn của biểu thức là \(e^2\).

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 4

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 18:

Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{(n + 1)}^4} - {{(n - 1)}^4}}}{{{{({n^2} + 1)}^2} - {{({n^2} - 1)}^2}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tính giới hạn này, ta cần khai triển và rút gọn biểu thức:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{(n + 1)}^4} - {{(n - 1)}^4}}}{{{{({n^2} + 1)}^2} - {{({n^2} - 1)}^2}}}\)

Trước hết, ta khai triển \({(n+1)^4}\) và \({(n-1)^4}\):
\({(n+1)^4} = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1\)
\({(n-1)^4} = n^4 - 4n^3 + 6n^2 - 4n + 1\)

Do đó, \({(n+1)^4} - {(n-1)^4} = 8n^3 + 8n\)

Tiếp theo, ta khai triển \({(n^2+1)^2}\) và \({(n^2-1)^2}\):
\({(n^2+1)^2} = n^4 + 2n^2 + 1\)
\({(n^2-1)^2} = n^4 - 2n^2 + 1\)

Do đó, \({(n^2+1)^2} - {(n^2-1)^2} = 4n^2\)

Vậy, biểu thức trở thành:
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{8{n^3} + 8n}}{{4{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{8{n^3}}}{{4{n^2}}} + \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{8n}}{{4{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } (2n + \frac{2}{n})\)

Khi \(n \to \infty \), \(2n \to \infty \) và \(\frac{2}{n} \to 0\). Do đó, giới hạn là \(+ \infty \).

Câu 19:

Hàm số \(x = a.{\cos ^3}t,\,y = b.{\sin ^3}t,\,t \in (0,\frac{\pi }{2})\) có x'(t) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Câu 20:

Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \cot 2x.\cot (\frac{\pi }{4} - x)\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có:
\(\cot 2x.\cot (\frac{\pi }{4} - x) = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} . \frac{\cos (\frac{\pi }{4} - x)}{\sin (\frac{\pi }{4} - x)} = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} . \frac{\cos \frac{\pi }{4} \cos x + \sin \frac{\pi }{4} \sin x}{\sin \frac{\pi }{4} \cos x - \cos \frac{\pi }{4} \sin x} = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} . \frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x} = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} . \frac{(\cos x + \sin x)^2}{\cos^2 x - \sin^2 x} = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} . \frac{(\cos x + \sin x)^2}{\cos 2x} = \frac{(\cos x + \sin x)^2}{\sin 2x} = \frac{\cos^2 x + 2\sin x \cos x + \sin^2 x}{2\sin x \cos x} = \frac{1 + \sin 2x}{2\sin x \cos x} = \frac{1 + \sin 2x}{\sin 2x}\)
Do đó:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \cot 2x.\cot (\frac{\pi }{4} - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \frac{1 + \sin 2x}{\sin 2x} = \frac{1 + \sin \frac{\pi}{2}}{\sin \frac{\pi}{2}} = \frac{1 + 1}{1} = 2\)

Câu 21:

Tìm điểm gián đoạn của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\ln \left| {x - 1} \right|}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\ln \left| {x - 1} \right|}}\) gián đoạn khi mẫu số bằng 0 hoặc khi biểu thức trong logarit không xác định.

1. Mẫu số bằng 0: \(\ln \left| {x - 1} \right| = 0 \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| = 1 \Leftrightarrow x - 1 = 1\) hoặc \(x - 1 = -1\). Suy ra \(x = 2\) hoặc \(x = 0\).

2. Biểu thức trong logarit không dương: \(\left| {x - 1} \right| > 0 \Leftrightarrow x \ne 1\). Vậy x = 1 cũng là một điểm gián đoạn.

Vậy các điểm gián đoạn là x = 0, x = 1, x = 2.

Câu 22:

Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - {\tan ^2}x)^{1/{{\sin }^2}(2x)}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Câu 23:

Hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2}\sin \left( {\frac{1}{x}} \right),\,x \ne 0\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \end{array} \right.\) có f'(0) là:

Lời giải: