Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_3^{ + \infty } {\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}}dx} \)
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_3^{ + \infty } {\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}}dx} \), ta thực hiện các bước sau:
1. **Phân tích hàm số dưới dấu tích phân:**
Ta phân tích \(\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}}\) thành tổng của các phân thức đơn giản:
\(\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}} = \frac{A}{{x + 1}} + \frac{B}{{x - 2}}\)
\(1 = A(x - 2) + B(x + 1)\)
Chọn \(x = 2\): \(1 = 3B \Rightarrow B = \frac{1}{3}\)
Chọn \(x = -1\): \(1 = -3A \Rightarrow A = -\frac{1}{3}\)
Vậy, \(\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}} = -\frac{1}{3}\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{3}\frac{1}{{x - 2}}\)
2. **Tính tích phân:**
\(\int\limits_3^{ + \infty } {\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}}dx} = \frac{1}{3}\int\limits_3^{ + \infty } {\left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \)
\(= \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \int\limits_3^b {\left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \)
\(= \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left[ {\ln |x - 2| - \ln |x + 1|} \right]_3^b\)
\(= \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left[ {\ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right|} \right]_3^b\)
\(= \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\ln \left| {\frac{{b - 2}}{{b + 1}}} \right| - \ln \left| {\frac{{3 - 2}}{{3 + 1}}} \right|} \right)\)
\(= \frac{1}{3}\left( {\ln 1 - \ln \frac{1}{4}} \right) = \frac{1}{3}\left( {0 - \ln \frac{1}{4}} \right) = -\frac{1}{3}\ln \frac{1}{4} = \frac{1}{3}\ln 4 = \frac{1}{3}\ln {2^2} = \frac{2}{3}\ln 2\)
Vậy, tích phân suy rộng \(\int\limits_3^{ + \infty } {\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}}dx} = \frac{2}{3}\ln 2\).
Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!
30 câu hỏi 60 phút
