Tính tích phân xác định \(I = \int\limits_1^e {\frac{{dx}}{{2x(1 + {{\ln }^2}x)}}}\)

\(\frac{\pi }{8}\)

\(-\frac{\pi }{4}\)

\(\frac{\pi }{2}\)

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\). Đổi cận: \(\begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\ x = e \Rightarrow t = 1\end{array}\) Khi đó, \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{2(1 + {t^2})}}} = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}} = \frac{1}{2}arctan(t)\left. {\begin{array}{* {20}{c}}\ {} \\ {} \end{array}} \right|_0^1 = \frac{1}{2}(arctan(1) - arctan(0)) = \frac{1}{2}(\frac{\pi }{4} - 0) = \frac{\pi }{8}\)

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 4

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 6:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \({x^2} - y = 0,\,{x^3} - y = 0\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Câu 7:

Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng \(\int\limits_0^4 {\frac{{dx}}{{x - 3}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Tích phân suy rộng \(\int\limits_0^4 {\frac{{dx}}{{x - 3}}}\) có điểm kỳ dị tại x = 3 nằm trong khoảng tích phân [0, 4]. Do đó, ta cần xét sự hội tụ của tích phân này bằng cách tách nó thành tổng của hai tích phân:

\(\int\limits_0^4 {\frac{{dx}}{{x - 3}}} = \int\limits_0^3 {\frac{{dx}}{{x - 3}}} + \int\limits_3^4 {\frac{{dx}}{{x - 3}}}\)

Xét tích phân \(\int\limits_0^3 {\frac{{dx}}{{x - 3}}}\):

\(\int\limits_0^3 {\frac{{dx}}{{x - 3}}} = \mathop {lim}\limits_{t \to {3^ - }} \int\limits_0^t {\frac{{dx}}{{x - 3}}} = \mathop {lim}\limits_{t \to {3^ - }} \left. {ln\left| {x - 3} \right|} \right|_0^t = \mathop {lim}\limits_{t \to {3^ - }} \left( {ln\left| {t - 3} \right| - ln\left| {0 - 3} \right|} \right) = \mathop {lim}\limits_{t \to {3^ - }} \left( {ln\left| {t - 3} \right| - ln3} \right) = - \infty \)

Vì tích phân này phân kỳ, nên tích phân ban đầu cũng phân kỳ.

Câu 8:

Bán kính hội tụ của chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{n^2}}}}\) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{n^2}}}}\) ta sử dụng tiêu chuẩn D'Alembert (tỉ số). Gọi \(a_n = \frac{x^n}{n^2}\). Khi đó:

\(\left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \left| {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{{{(n + 1)}^2}}}\frac{{{n^2}}}{{{x^n}}}} \right| = \left| x \right|\frac{{{n^2}}}{{{{(n + 1)}^2}}} = \left| x \right|\frac{{{n^2}}}{{{n^2} + 2n + 1}} = \left| x \right|\frac{1}{{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}\)

Khi \(n \to \infty \), ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \left| x \right|\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}} = \left| x \right|\)

Để chuỗi hội tụ, ta cần \(\left| x \right| < 1\), suy ra \(-1 < x < 1\). Do đó, bán kính hội tụ là r = 1.

Câu 9:

Bán kính hội tụ của chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{n + 2}}}\) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{n + 2}}}\), ta sử dụng tiêu chuẩn D'Alembert (tỉ số). Gọi \(a_n = \frac{x^n}{n+2}\). Khi đó:

\(\left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \left| {\frac{{\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1 + 2}}}}{{\frac{{{x^n}}}{{n + 2}}}}} \right| = \left| {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 3}} \cdot \frac{{n + 2}}{{{x^n}}}} \right| = \left| x \right| \cdot \frac{{n + 2}}{{n + 3}} = \left| x \right| \cdot \frac{{1 + \frac{2}{n}}}{{1 + \frac{3}{n}}}\)

Khi \(n \to \infty \), \(\frac{{1 + \frac{2}{n}}}{{1 + \frac{3}{n}}} \to 1\). Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \left| x \right|\).

Để chuỗi hội tụ, ta cần \(\left| x \right| < 1\), tức là \(-1 < x < 1\). Vậy bán kính hội tụ là \(r = 1\).

Câu 10:

Khai triển Maclaurin của sin x đến x⁴

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Công thức khai triển Maclaurin của sin(x) là: sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...

Trong đó, n! (n giai thừa) = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1

Vậy, sin(x) = x - x^3/6 + x^5/120 - ...

Khai triển Maclaurin của sin(x) đến x^4 nghĩa là chỉ giữ lại các số hạng có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 4. Các số hạng bậc cao hơn được biểu diễn bằng o(x^4), nghĩa là các số hạng này tiến về 0 nhanh hơn x^4 khi x tiến về 0.

Do đó, sin(x) = x - x^3/6 + o(x^4).

Câu 11:

Hàm số \(f(x) = {x^2} - 3\left| x \right| + 2\) có f'(x) khi x < 0 là:

Lời giải: