Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \({x^2} - y = 0,\,{x^3} - y = 0\)

Tích phân suy rộng \(\int\limits_0^4 {\frac{{dx}}{{x - 3}}}\) có điểm kỳ dị tại x = 3 nằm trong khoảng tích phân [0, 4]. Do đó, ta cần xét sự hội tụ của tích phân này bằng cách tách nó thành tổng của hai tích phân:

\(\int\limits_0^4 {\frac{{dx}}{{x - 3}}} = \int\limits_0^3 {\frac{{dx}}{{x - 3}}} + \int\limits_3^4 {\frac{{dx}}{{x - 3}}}\)

Xét tích phân \(\int\limits_0^3 {\frac{{dx}}{{x - 3}}}\):

\(\int\limits_0^3 {\frac{{dx}}{{x - 3}}} = \mathop {lim}\limits_{t \to {3^ - }} \int\limits_0^t {\frac{{dx}}{{x - 3}}} = \mathop {lim}\limits_{t \to {3^ - }} \left. {ln\left| {x - 3} \right|} \right|_0^t = \mathop {lim}\limits_{t \to {3^ - }} \left( {ln\left| {t - 3} \right| - ln\left| {0 - 3} \right|} \right) = \mathop {lim}\limits_{t \to {3^ - }} \left( {ln\left| {t - 3} \right| - ln3} \right) = - \infty \)

Vì tích phân này phân kỳ, nên tích phân ban đầu cũng phân kỳ.

Với x < 0 ta có |x| = -x. Khi đó, f(x) = x² + 3x + 2.
Vậy f'(x) = 2x + 3.