Khai triển Maclaurin của sin x đến x⁴

\(x - \frac{{{x^3}}}{6} + o({x^4})\)

\(x+ \frac{{{x^3}}}{6} + o({x^4})\)

\(x - \frac{{{x^3}}}{6} + \frac{{{x^5}}}{{120}} + o({x^4})\)

\(x + \frac{{{x^3}}}{6} - \frac{{{x^5}}}{{120}} + o({x^4})\)

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Công thức khai triển Maclaurin của sin(x) là: sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ... Trong đó, n! (n giai thừa) = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1 Vậy, sin(x) = x - x^3/6 + x^5/120 - ... Khai triển Maclaurin của sin(x) đến x^4 nghĩa là chỉ giữ lại các số hạng có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 4. Các số hạng bậc cao hơn được biểu diễn bằng o(x^4), nghĩa là các số hạng này tiến về 0 nhanh hơn x^4 khi x tiến về 0. Do đó, sin(x) = x - x^3/6 + o(x^4).

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 4

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 11:

Hàm số \(f(x) = {x^2} - 3\left| x \right| + 2\) có f'(x) khi x < 0 là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Với x < 0 ta có |x| = -x. Khi đó, f(x) = x² + 3x + 2.
Vậy f'(x) = 2x + 3.

Câu 12:

Tìm a để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{{(1 + x)}^n} - 1}}{x},\,\,x \ne 0,n \in N\\ a,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \end{array} \right.\) liên tục trên R

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để hàm số liên tục trên R, hàm số phải liên tục tại mọi điểm. Ta cần xét tính liên tục của hàm số tại x = 0.

Để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần có:

\(\mathop {lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)\)

Ta có \(f(0) = a\)

\(\mathop {lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(1 + x)}^n} - 1}}{x}\)

Sử dụng khai triển nhị thức Newton, ta có:

\({(1 + x)^n} = 1 + nx + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}{x^2} + ... + {x^n}\)

Do đó,

\(\mathop {lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(1 + x)}^n} - 1}}{x} = \mathop {lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + nx + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}{x^2} + ... + {x^n} - 1}}{x} = \mathop {lim }\limits_{x \to 0} \frac{{nx + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}{x^2} + ... + {x^n}}}{x} = \mathop {lim }\limits_{x \to 0} \left( {n + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}x + ... + {x^{n - 1}}} \right) = n\)

Vậy, để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần có a = n.

Câu 13:

Hàm số \(f'(x) = {x^2} - 3\left| x \right| + 2\) có f'(0) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có f'(x) = x^2 - 3|x| + 2. Để tính f'(0), ta thay x = 0 vào biểu thức của f'(x). Khi đó, f'(0) = 0^2 - 3|0| + 2 = 0 - 0 + 2 = 2. Tuy nhiên, không có đáp án nào là 2. Ta cần xem xét lại tính khả vi của hàm số tại x=0.

Hàm số f(x) có thể được viết lại như sau:

f(x) = x^2 - 3x + 2 khi x >= 0
f(x) = x^2 + 3x + 2 khi x < 0

Tính đạo hàm bên phải tại x=0: f'(0+) = lim (x->0+) (f(x) - f(0))/(x-0) = lim (x->0+) (x^2 - 3x + 2 - 2)/x = lim (x->0+) (x-3) = -3
Tính đạo hàm bên trái tại x=0: f'(0-) = lim (x->0-) (f(x) - f(0))/(x-0) = lim (x->0-) (x^2 + 3x + 2 - 2)/x = lim (x->0-) (x+3) = 3

Vì đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải tại x=0 không bằng nhau (f'(0+) != f'(0-)), nên f'(0) không tồn tại.

Câu 14:

Hàm số \(x = a.{\cos ^3}t,\,y = b.{\sin ^3}t,\,t \in (0,\frac{\pi }{2})\) có y'(x) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có: \(\frac{{dx}}{{dt}} = - 3a{\cos ^2}t\sin t\) và \(\frac{{dy}}{{dt}} = 3b{\sin ^2}t\cos t\)

Suy ra: \(y'(x) = \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{\frac{{dy}}{{dt}}}}{{\frac{{dx}}{{dt}}}} = \frac{{3b{{\sin }^2}t\cos t}}{{ - 3a{{\cos }^2}t\sin t}} = - \frac{b}{a}\tan t\)

Câu 15:

Hàm số \(x = a.{\cos ^3}t,\,y = b.{\sin ^3}t,\,t \in (0,\frac{\pi }{2})\) có y'(t) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có:

\(\begin{array}{l}x = a{\cos ^3}t \Rightarrow x'(t) = - 3a{\cos ^2}t\sin t\\y = b{\sin ^3}t \Rightarrow y'(t) = 3b{\sin ^2}t\cos t\end{array}\)

Vậy đáp án đúng là: \(3b{\sin ^2}t\cos t\)

Câu 16:

Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\ln ({n^2} - n + 1)}}{{\ln ({n^{10}} + n + 1)}}\)

Lời giải: