Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{(n + 1)}^4} - {{(n - 1)}^4}}}{{{{({n^2} + 1)}^2} - {{({n^2} - 1)}^2}}}\)
Trả lời:
Đáp án đúng: C
Để tính giới hạn này, ta cần khai triển và rút gọn biểu thức:
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{(n + 1)}^4} - {{(n - 1)}^4}}}{{{{({n^2} + 1)}^2} - {{({n^2} - 1)}^2}}}\)
Trước hết, ta khai triển \({(n+1)^4}\) và \({(n-1)^4}\):
\({(n+1)^4} = n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1\)
\({(n-1)^4} = n^4 - 4n^3 + 6n^2 - 4n + 1\)
Do đó, \({(n+1)^4} - {(n-1)^4} = 8n^3 + 8n\)
Tiếp theo, ta khai triển \({(n^2+1)^2}\) và \({(n^2-1)^2}\):
\({(n^2+1)^2} = n^4 + 2n^2 + 1\)
\({(n^2-1)^2} = n^4 - 2n^2 + 1\)
Do đó, \({(n^2+1)^2} - {(n^2-1)^2} = 4n^2\)
Vậy, biểu thức trở thành:
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{8{n^3} + 8n}}{{4{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{8{n^3}}}{{4{n^2}}} + \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{8n}}{{4{n^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } (2n + \frac{2}{n})\)
Khi \(n \to \infty \), \(2n \to \infty \) và \(\frac{2}{n} \to 0\). Do đó, giới hạn là \(+ \infty \).
Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!
30 câu hỏi 60 phút
