Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - {\tan ^2}x)^{1/{{\sin }^2}(2x)}}\)

Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}}} dx\), ta thực hiện các bước sau:

1. Phân tích thành phân thức đơn giản:

Ta phân tích biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các phân thức đơn giản:

\(\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}} = \frac{A}{{x - 1}} + \frac{B}{{x + 2}} + \frac{C}{{x + 3}}\)

Quy đồng mẫu số và khử mẫu, ta có:

\(1 = A(x + 2)(x + 3) + B(x - 1)(x + 3) + C(x - 1)(x + 2)\)

Để tìm A, B, C, ta chọn các giá trị thích hợp của x:

• Với x = 1: \(1 = A(3)(4) \Rightarrow A = \frac{1}{{12}}\)


• Với x = -2: \(1 = B(-3)(1) \Rightarrow B = -\frac{1}{3}\)


• Với x = -3: \(1 = C(-4)(-1) \Rightarrow C = \frac{1}{4}\)

Vậy, \(\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}} = \frac{1}{{12(x - 1)}} - \frac{1}{{3(x + 2)}} + \frac{1}{{4(x + 3)}}\)

2. Tính tích phân:

\(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}}} dx = \int\limits_2^{ + \infty } {\left( {\frac{1}{{12(x - 1)}} - \frac{1}{{3(x + 2)}} + \frac{1}{{4(x + 3)}}} \right)} dx\)

\(= \left[ {\frac{1}{{12}}\ln |x - 1| - \frac{1}{3}\ln |x + 2| + \frac{1}{4}\ln |x + 3|} \right]_2^{ + \infty }\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left[ {\frac{1}{{12}}\ln |x - 1| - \frac{1}{3}\ln |x + 2| + \frac{1}{4}\ln |x + 3|} \right]_2^b\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\frac{1}{{12}}\ln (b - 1) - \frac{1}{3}\ln (b + 2) + \frac{1}{4}\ln (b + 3) - \frac{1}{{12}}\ln 1 + \frac{1}{3}\ln 4 - \frac{1}{4}\ln 5} \right)\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\frac{1}{{12}}\ln (b - 1) - \frac{1}{3}\ln (b + 2) + \frac{1}{4}\ln (b + 3)} \right) + \frac{1}{3}\ln 4 - \frac{1}{4}\ln 5\)

Ta có thể viết lại:

\(= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \ln \sqrt[12]{{\frac{{(b - 1)(b + 3)^3}}{{(b + 2)^4}}}} + \frac{2}{3}\ln 2 - \frac{1}{4}\ln 5\)

\(= \ln 1 + \frac{2}{3}\ln 2 - \frac{1}{4}\ln 5 = \frac{2}{3}\ln 2 - \frac{1}{4}\ln 5\)

Vậy, \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}}} dx = - \frac{1}{4}\ln 5 + \frac{2}{3}\ln 2\)

Câu hỏi yêu cầu tính tổng của chuỗi số \(S = {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{2}{3}} \right)} ^n}\).

Đây là một cấp số nhân vô hạn có công bội q = 2/3 và số hạng đầu u1 = 2/3. Vì |q| < 1 nên chuỗi này hội tụ và tổng của nó được tính bằng công thức:

\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{1 - \frac{2}{3}}} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{\frac{1}{3}}} = 2\)

Vậy, S = 2.