Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - {\tan ^2}x)^{1/{{\sin }^2}(2x)}}\)
Trả lời:
Đáp án đúng: D
Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!
30 câu hỏi 60 phút
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng: D
Để tìm f'(0), ta sử dụng định nghĩa đạo hàm:
f'(0) = lim (x->0) [f(x) - f(0)] / (x - 0)
Vì f(0) = 0, ta có:
f'(0) = lim (x->0) f(x) / x = lim (x->0) [x^2 * sin(1/x)] / x = lim (x->0) x * sin(1/x)
Vì -1 <= sin(1/x) <= 1, ta có:
- |x| <= x * sin(1/x) <= |x|
Khi x -> 0, cả -|x| và |x| đều tiến tới 0. Theo định lý kẹp, ta có:
lim (x->0) x * sin(1/x) = 0
Vậy, f'(0) = 0.
f'(0) = lim (x->0) [f(x) - f(0)] / (x - 0)
Vì f(0) = 0, ta có:
f'(0) = lim (x->0) f(x) / x = lim (x->0) [x^2 * sin(1/x)] / x = lim (x->0) x * sin(1/x)
Vì -1 <= sin(1/x) <= 1, ta có:
- |x| <= x * sin(1/x) <= |x|
Khi x -> 0, cả -|x| và |x| đều tiến tới 0. Theo định lý kẹp, ta có:
lim (x->0) x * sin(1/x) = 0
Vậy, f'(0) = 0.
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Để tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{2^n} + {e^n}}}} \), ta sử dụng tiêu chuẩn D'Alembert (tỉ số). Gọi \(a_n = \frac{1}{2^n + e^n}\). Khi đó, bán kính hội tụ \(R\) được tính bởi:
\(R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2^n + e^n}}{\frac{1}{2^{n+1} + e^{n+1}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} + e^{n+1}}{2^n + e^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}/e^n + e}{2^n/e^n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot (2/e)^n + e}{(2/e)^n + 1}\)
Vì \(e > 2\), nên \(2/e < 1\). Do đó, \(\lim_{n \to \infty} (2/e)^n = 0\). Vậy:
\(R = \frac{0 + e}{0 + 1} = e\)
Vậy bán kính hội tụ là \(r = e\).
\(R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2^n + e^n}}{\frac{1}{2^{n+1} + e^{n+1}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} + e^{n+1}}{2^n + e^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}/e^n + e}{2^n/e^n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot (2/e)^n + e}{(2/e)^n + 1}\)
Vì \(e > 2\), nên \(2/e < 1\). Do đó, \(\lim_{n \to \infty} (2/e)^n = 0\). Vậy:
\(R = \frac{0 + e}{0 + 1} = e\)
Vậy bán kính hội tụ là \(r = e\).
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}}} dx\), ta phân tích hàm phân thức hữu tỉ thành tổng các phân thức đơn giản:
\(\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}} = \frac{A}{{x - 1}} + \frac{B}{{x + 2}} + \frac{C}{{x + 3}}\)
Quy đồng mẫu số và so sánh tử số, ta có:
\(1 = A(x + 2)(x + 3) + B(x - 1)(x + 3) + C(x - 1)(x + 2)\)
Chọn các giá trị thích hợp của \(x\) để tìm \(A, B, C\):
* Với \(x = 1\): \(1 = A(3)(4) \Rightarrow A = \frac{1}{{12}}\)
* Với \(x = -2\): \(1 = B(-3)(1) \Rightarrow B = -\frac{1}{3}\)
* Với \(x = -3\): \(1 = C(-4)(-1) \Rightarrow C = \frac{1}{4}\)
Vậy:
\(\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}} = \frac{1}{{12(x - 1)}} - \frac{1}{{3(x + 2)}} + \frac{1}{{4(x + 3)}}\)
Tính tích phân:
\(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}}} dx = \int\limits_2^{ + \infty } {\left( {\frac{1}{{12(x - 1)}} - \frac{1}{{3(x + 2)}} + \frac{1}{{4(x + 3)}}} \right)} dx\)
\(= \left[ {\frac{1}{{12}}\ln |x - 1| - \frac{1}{3}\ln |x + 2| + \frac{1}{4}\ln |x + 3|} \right]_2^{ + \infty }\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left[ {\frac{1}{{12}}\ln |x - 1| - \frac{1}{3}\ln |x + 2| + \frac{1}{4}\ln |x + 3|} \right]_2^b\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\frac{1}{{12}}\ln (b - 1) - \frac{1}{3}\ln (b + 2) + \frac{1}{4}\ln (b + 3) - \frac{1}{{12}}\ln 1 + \frac{1}{3}\ln 4 - \frac{1}{4}\ln 5} \right)\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\frac{1}{{12}}\ln (b - 1) - \frac{1}{3}\ln (b + 2) + \frac{1}{4}\ln (b + 3)} \right) + \frac{1}{3}\ln 4 - \frac{1}{4}\ln 5\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \ln \sqrt[12]{{\frac{{(b - 1){{(b + 3)}^3}}}{{{{(b + 2)}^4}}}}} + \frac{2}{3}\ln 2 - \frac{1}{4}\ln 5\)
\(= \ln 1 + \frac{2}{3}\ln 2 - \frac{1}{4}\ln 5 = \frac{2}{3}\ln 2 - \frac{1}{4}\ln 5\)
Vậy, đáp án đúng là \(\frac{2}{3}\ln 2 - \frac{1}{4}\ln 5\) hay \( - \frac{1}{4}\ln 5 + \frac{2}{3}\ln 2\).
\(\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}} = \frac{A}{{x - 1}} + \frac{B}{{x + 2}} + \frac{C}{{x + 3}}\)
Quy đồng mẫu số và so sánh tử số, ta có:
\(1 = A(x + 2)(x + 3) + B(x - 1)(x + 3) + C(x - 1)(x + 2)\)
Chọn các giá trị thích hợp của \(x\) để tìm \(A, B, C\):
* Với \(x = 1\): \(1 = A(3)(4) \Rightarrow A = \frac{1}{{12}}\)
* Với \(x = -2\): \(1 = B(-3)(1) \Rightarrow B = -\frac{1}{3}\)
* Với \(x = -3\): \(1 = C(-4)(-1) \Rightarrow C = \frac{1}{4}\)
Vậy:
\(\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}} = \frac{1}{{12(x - 1)}} - \frac{1}{{3(x + 2)}} + \frac{1}{{4(x + 3)}}\)
Tính tích phân:
\(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}}} dx = \int\limits_2^{ + \infty } {\left( {\frac{1}{{12(x - 1)}} - \frac{1}{{3(x + 2)}} + \frac{1}{{4(x + 3)}}} \right)} dx\)
\(= \left[ {\frac{1}{{12}}\ln |x - 1| - \frac{1}{3}\ln |x + 2| + \frac{1}{4}\ln |x + 3|} \right]_2^{ + \infty }\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left[ {\frac{1}{{12}}\ln |x - 1| - \frac{1}{3}\ln |x + 2| + \frac{1}{4}\ln |x + 3|} \right]_2^b\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\frac{1}{{12}}\ln (b - 1) - \frac{1}{3}\ln (b + 2) + \frac{1}{4}\ln (b + 3) - \frac{1}{{12}}\ln 1 + \frac{1}{3}\ln 4 - \frac{1}{4}\ln 5} \right)\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\frac{1}{{12}}\ln (b - 1) - \frac{1}{3}\ln (b + 2) + \frac{1}{4}\ln (b + 3)} \right) + \frac{1}{3}\ln 4 - \frac{1}{4}\ln 5\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \ln \sqrt[12]{{\frac{{(b - 1){{(b + 3)}^3}}}{{{{(b + 2)}^4}}}}} + \frac{2}{3}\ln 2 - \frac{1}{4}\ln 5\)
\(= \ln 1 + \frac{2}{3}\ln 2 - \frac{1}{4}\ln 5 = \frac{2}{3}\ln 2 - \frac{1}{4}\ln 5\)
Vậy, đáp án đúng là \(\frac{2}{3}\ln 2 - \frac{1}{4}\ln 5\) hay \( - \frac{1}{4}\ln 5 + \frac{2}{3}\ln 2\).
Lời giải:
Đáp án đúng: B
Câu hỏi yêu cầu tính tổng của chuỗi số \(S = {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{2}{3}} \right)} ^n}\).
Đây là một cấp số nhân vô hạn có công bội q = 2/3 và số hạng đầu u1 = 2/3. Vì |q| < 1 nên chuỗi này hội tụ và tổng của nó được tính bằng công thức:
\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{1 - \frac{2}{3}}} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{\frac{1}{3}}} = 2\)
Vậy, S = 2.
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_3^{ + \infty } {\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}}dx} \), ta thực hiện các bước sau:
1. Phân tích hàm số dưới dấu tích phân:
Ta phân tích \(\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}}\) thành tổng của các phân thức đơn giản:
\(\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}} = \frac{A}{{x + 1}} + \frac{B}{{x - 2}}\)
\(1 = A(x - 2) + B(x + 1)\)
Chọn \(x = 2\): \(1 = 3B \Rightarrow B = \frac{1}{3}\)
Chọn \(x = -1\): \(1 = -3A \Rightarrow A = -\frac{1}{3}\)
Vậy, \(\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}} = -\frac{1}{3}\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{3}\frac{1}{{x - 2}}\)
2. Tính tích phân:
\(\int\limits_3^{ + \infty } {\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}}dx} = \frac{1}{3}\int\limits_3^{ + \infty } {\left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \)
\(= \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \int\limits_3^b {\left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \)
\(= \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left[ {\ln |x - 2| - \ln |x + 1|} \right]_3^b\)
\(= \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left[ {\ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right|} \right]_3^b\)
\(= \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\ln \left| {\frac{{b - 2}}{{b + 1}}} \right| - \ln \left| {\frac{{3 - 2}}{{3 + 1}}} \right|} \right)\)
\(= \frac{1}{3}\left( {\ln 1 - \ln \frac{1}{4}} \right) = \frac{1}{3}\left( {0 - \ln \frac{1}{4}} \right) = -\frac{1}{3}\ln \frac{1}{4} = \frac{1}{3}\ln 4 = \frac{1}{3}\ln {2^2} = \frac{2}{3}\ln 2\)
Vậy, tích phân suy rộng \(\int\limits_3^{ + \infty } {\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}}dx} = \frac{2}{3}\ln 2\).
1. Phân tích hàm số dưới dấu tích phân:
Ta phân tích \(\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}}\) thành tổng của các phân thức đơn giản:
\(\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}} = \frac{A}{{x + 1}} + \frac{B}{{x - 2}}\)
\(1 = A(x - 2) + B(x + 1)\)
Chọn \(x = 2\): \(1 = 3B \Rightarrow B = \frac{1}{3}\)
Chọn \(x = -1\): \(1 = -3A \Rightarrow A = -\frac{1}{3}\)
Vậy, \(\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}} = -\frac{1}{3}\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{3}\frac{1}{{x - 2}}\)
2. Tính tích phân:
\(\int\limits_3^{ + \infty } {\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}}dx} = \frac{1}{3}\int\limits_3^{ + \infty } {\left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \)
\(= \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \int\limits_3^b {\left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \)
\(= \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left[ {\ln |x - 2| - \ln |x + 1|} \right]_3^b\)
\(= \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left[ {\ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right|} \right]_3^b\)
\(= \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\ln \left| {\frac{{b - 2}}{{b + 1}}} \right| - \ln \left| {\frac{{3 - 2}}{{3 + 1}}} \right|} \right)\)
\(= \frac{1}{3}\left( {\ln 1 - \ln \frac{1}{4}} \right) = \frac{1}{3}\left( {0 - \ln \frac{1}{4}} \right) = -\frac{1}{3}\ln \frac{1}{4} = \frac{1}{3}\ln 4 = \frac{1}{3}\ln {2^2} = \frac{2}{3}\ln 2\)
Vậy, tích phân suy rộng \(\int\limits_3^{ + \infty } {\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}}dx} = \frac{2}{3}\ln 2\).
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Trí Tuệ Nhân Tạo Và Học Máy
89 tài liệu310 lượt tải
Bộ 120+ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Hệ Thống Thông Tin
125 tài liệu441 lượt tải
Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Mạng Máy Tính Và Truyền Thông
104 tài liệu687 lượt tải
Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Kiểm Toán
103 tài liệu589 lượt tải
Bộ 370+ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Kế Toán Doanh Nghiệp
377 tài liệu1030 lượt tải
Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Quản Trị Thương Hiệu
99 tài liệu1062 lượt tải
ĐĂNG KÝ GÓI THI VIP
- Truy cập hơn 100K đề thi thử và chính thức các năm
- 2M câu hỏi theo các mức độ: Nhận biết – Thông hiểu – Vận dụng
- Học nhanh với 10K Flashcard Tiếng Anh theo bộ sách và chủ đề
- Đầy đủ: Mầm non – Phổ thông (K12) – Đại học – Người đi làm
- Tải toàn bộ tài liệu trên TaiLieu.VN
- Loại bỏ quảng cáo để tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Tặng 15 ngày khi đăng ký gói 3 tháng, 30 ngày với gói 6 tháng và 60 ngày với gói 12 tháng.
77.000 đ/ tháng