Tính tích phân \(I = \int {\frac{{3dx}}{{{x^2} - 7x + 10}}}\)

Để tính tích phân \(I = \int { \frac{{7{{(\ln x - 1)}^6}}}{x}} dx\), ta sử dụng phương pháp đổi biến số.

Đặt \(t = \ln x - 1\), suy ra \(dt = \frac{1}{x} dx\).

Khi đó, tích phân trở thành:

\(I = \int {7{t^6}dt} = 7\int {{t^6}dt} = 7.\frac{{{t^7}}}{7} + C = {t^7} + C\)

Thay \(t = \ln x - 1\) vào, ta được:

\(I = {(\ln x - 1)^7} + C\)

Vậy đáp án đúng là \({(\ln x - 1)^7} + C\).

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong \({x^2} - y = 0\) và \({x^3} - y = 0\), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm giao điểm của hai đường cong:

   Giải phương trình \(x^2 = x^3\), ta được \(x^3 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x - 1) = 0\). Vậy \(x = 0\) hoặc \(x = 1\).

   Khi \(x = 0\), \(y = 0^2 = 0\).

   Khi \(x = 1\), \(y = 1^2 = 1\).

   Vậy hai đường cong giao nhau tại các điểm \((0, 0)\) và \((1, 1)\).

2. Xác định hàm trên và hàm dưới:

   Trong khoảng \([0, 1]\), ta cần xác định đường cong nào nằm trên và đường cong nào nằm dưới.

   Chọn một giá trị \(x\) bất kỳ trong khoảng \((0, 1)\), ví dụ \(x = 0.5\).

   Khi đó, \(y_1 = x^2 = (0.5)^2 = 0.25\) và \(y_2 = x^3 = (0.5)^3 = 0.125\).

   Vì \(y_1 > y_2\), nên \(y = x^2\) nằm trên \(y = x^3\) trong khoảng \([0, 1]\).

3. Tính diện tích:

   Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong là:

   \(S = \int_{0}^{1} (x^2 - x^3) dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - (0 - 0) = \frac{4 - 3}{12} = \frac{1}{12}\)

Vậy diện tích hình phẳng là \(\frac{1}{12}\).

Tích phân suy rộng \(\int\limits_0^4 {\frac{{dx}}{{x - 3}}}\) có điểm kỳ dị tại x = 3 nằm trong khoảng tích phân [0, 4]. Do đó, ta cần xét sự hội tụ của tích phân này bằng cách tách nó thành tổng của hai tích phân:

\(\int\limits_0^4 {\frac{{dx}}{{x - 3}}} = \int\limits_0^3 {\frac{{dx}}{{x - 3}}} + \int\limits_3^4 {\frac{{dx}}{{x - 3}}}\)

Xét tích phân \(\int\limits_0^3 {\frac{{dx}}{{x - 3}}}\):

\(\int\limits_0^3 {\frac{{dx}}{{x - 3}}} = \mathop {lim}\limits_{t \to {3^ - }} \int\limits_0^t {\frac{{dx}}{{x - 3}}} = \mathop {lim}\limits_{t \to {3^ - }} \left. {ln\left| {x - 3} \right|} \right|_0^t = \mathop {lim}\limits_{t \to {3^ - }} \left( {ln\left| {t - 3} \right| - ln\left| {0 - 3} \right|} \right) = \mathop {lim}\limits_{t \to {3^ - }} \left( {ln\left| {t - 3} \right| - ln3} \right) = - \infty \)

Vì tích phân này phân kỳ, nên tích phân ban đầu cũng phân kỳ.