Tính tích phân \(I = \int { \frac{{7{{(\ln x - 1)}^6}}}{x}} dx\)

\(\frac{{{{\ln }^3}x - 2\ln x + 1}}{{{x^2}}} + C\)

\({(\ln x - 1)^7} + C\)

\({(\ln x + 1)^7} + C\)

\({\ln ^3}x - 2\ln x + 1 + C\)

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Đặt \(t = \ln x - 1\), suy ra \(dt = \frac{1}{x} dx\). Khi đó, tích phân trở thành: \[I = \int 7t^6 dt = 7 \cdot \frac{t^7}{7} + C = t^7 + C = (\ln x - 1)^7 + C.\] Vậy đáp án đúng là \((\ln x - 1)^7 + C\).

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 4

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 4:

Tính \(\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}( - 3x + 1)}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có công thức nguyên hàm: \(\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}(ax + b)}}} = - \frac{1}{a}\cot (ax + b) + C\).
Áp dụng công thức với \(a = - 3\) và \(b = 1\), ta được:
\(\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}( - 3x + 1)}}} = - \frac{1}{{ - 3}}\cot ( - 3x + 1) + C = \frac{1}{3}\cot ( - 3x + 1) + C\)

Câu 5:

Tính tích phân xác định \(I = \int\limits_1^e {\frac{{dx}}{{2x(1 + {{\ln }^2}x)}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\).

Đổi cận: \(\begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\ x = e \Rightarrow t = 1\end{array}\)

Khi đó, \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{2(1 + {t^2})}}} = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}} = \frac{1}{2}arctan(t)\left. {\begin{array}{* {20}{c}}\ {} \\ {} \end{array}} \right|_0^1 = \frac{1}{2}(arctan(1) - arctan(0)) = \frac{1}{2}(\frac{\pi }{4} - 0) = \frac{\pi }{8}\)

Câu 6:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \({x^2} - y = 0,\,{x^3} - y = 0\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Câu 7:

Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng \(\int\limits_0^4 {\frac{{dx}}{{x - 3}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Tích phân suy rộng \(\int\limits_0^4 {\frac{{dx}}{{x - 3}}}\) có điểm kỳ dị tại x = 3 nằm trong khoảng tích phân [0, 4]. Do đó, ta cần xét sự hội tụ của tích phân này bằng cách tách nó thành tổng của hai tích phân:

\(\int\limits_0^4 {\frac{{dx}}{{x - 3}}} = \int\limits_0^3 {\frac{{dx}}{{x - 3}}} + \int\limits_3^4 {\frac{{dx}}{{x - 3}}}\)

Xét tích phân \(\int\limits_0^3 {\frac{{dx}}{{x - 3}}}\):

\(\int\limits_0^3 {\frac{{dx}}{{x - 3}}} = \mathop {lim}\limits_{t \to {3^ - }} \int\limits_0^t {\frac{{dx}}{{x - 3}}} = \mathop {lim}\limits_{t \to {3^ - }} \left. {ln\left| {x - 3} \right|} \right|_0^t = \mathop {lim}\limits_{t \to {3^ - }} \left( {ln\left| {t - 3} \right| - ln\left| {0 - 3} \right|} \right) = \mathop {lim}\limits_{t \to {3^ - }} \left( {ln\left| {t - 3} \right| - ln3} \right) = - \infty \)

Vì tích phân này phân kỳ, nên tích phân ban đầu cũng phân kỳ.

Câu 8:

Bán kính hội tụ của chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{n^2}}}}\) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{n^2}}}}\) ta sử dụng tiêu chuẩn D'Alembert (tỉ số). Gọi \(a_n = \frac{x^n}{n^2}\). Khi đó:

\(\left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \left| {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{{{(n + 1)}^2}}}\frac{{{n^2}}}{{{x^n}}}} \right| = \left| x \right|\frac{{{n^2}}}{{{{(n + 1)}^2}}} = \left| x \right|\frac{{{n^2}}}{{{n^2} + 2n + 1}} = \left| x \right|\frac{1}{{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}\)

Khi \(n \to \infty \), ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \left| x \right|\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}} = \left| x \right|\)

Để chuỗi hội tụ, ta cần \(\left| x \right| < 1\), suy ra \(-1 < x < 1\). Do đó, bán kính hội tụ là r = 1.

Câu 9:

Bán kính hội tụ của chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{n + 2}}}\) là:

Lời giải: