Bán kính hội tụ của chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{n^2}}}}\) là:

r = 2

r = 1

r = 3

r = 4

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Để tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{n^2}}}}\) ta sử dụng tiêu chuẩn D'Alembert (tỉ số). Gọi \(a_n = \frac{x^n}{n^2}\). Khi đó: \(\left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \left| {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{{{(n + 1)}^2}}}\frac{{{n^2}}}{{{x^n}}}} \right| = \left| x \right|\frac{{{n^2}}}{{{{(n + 1)}^2}}} = \left| x \right|\frac{{{n^2}}}{{{n^2} + 2n + 1}} = \left| x \right|\frac{1}{{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}\) Khi \(n \to \infty \), ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \left| x \right|\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}} = \left| x \right|\) Để chuỗi hội tụ, ta cần \(\left| x \right| < 1\), suy ra \(-1 < x < 1\). Do đó, bán kính hội tụ là r = 1.

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 4

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 9:

Bán kính hội tụ của chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{n + 2}}}\) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{n + 2}}}\), ta sử dụng tiêu chuẩn D'Alembert (tỉ số). Gọi \(a_n = \frac{x^n}{n+2}\). Khi đó:

\(\left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \left| {\frac{{\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1 + 2}}}}{{\frac{{{x^n}}}{{n + 2}}}}} \right| = \left| {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 3}} \cdot \frac{{n + 2}}{{{x^n}}}} \right| = \left| x \right| \cdot \frac{{n + 2}}{{n + 3}} = \left| x \right| \cdot \frac{{1 + \frac{2}{n}}}{{1 + \frac{3}{n}}}\)

Khi \(n \to \infty \), \(\frac{{1 + \frac{2}{n}}}{{1 + \frac{3}{n}}} \to 1\). Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \left| x \right|\).

Để chuỗi hội tụ, ta cần \(\left| x \right| < 1\), tức là \(-1 < x < 1\). Vậy bán kính hội tụ là \(r = 1\).

Câu 10:

Khai triển Maclaurin của sin x đến x⁴

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Công thức khai triển Maclaurin của sin(x) là: sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...

Trong đó, n! (n giai thừa) = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1

Vậy, sin(x) = x - x^3/6 + x^5/120 - ...

Khai triển Maclaurin của sin(x) đến x^4 nghĩa là chỉ giữ lại các số hạng có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 4. Các số hạng bậc cao hơn được biểu diễn bằng o(x^4), nghĩa là các số hạng này tiến về 0 nhanh hơn x^4 khi x tiến về 0.

Do đó, sin(x) = x - x^3/6 + o(x^4).

Câu 11:

Hàm số \(f(x) = {x^2} - 3\left| x \right| + 2\) có f'(x) khi x < 0 là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Với x < 0 ta có |x| = -x. Khi đó, f(x) = x² + 3x + 2.
Vậy f'(x) = 2x + 3.

Câu 12:

Tìm a để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{{(1 + x)}^n} - 1}}{x},\,\,x \ne 0,n \in N\\ a,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \end{array} \right.\) liên tục trên R

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để hàm số liên tục trên R, hàm số phải liên tục tại mọi điểm. Ta cần xét tính liên tục của hàm số tại x = 0.

Để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần có:

\(\mathop {lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)\)

Ta có \(f(0) = a\)

\(\mathop {lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(1 + x)}^n} - 1}}{x}\)

Sử dụng khai triển nhị thức Newton, ta có:

\({(1 + x)^n} = 1 + nx + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}{x^2} + ... + {x^n}\)

Do đó,

\(\mathop {lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(1 + x)}^n} - 1}}{x} = \mathop {lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + nx + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}{x^2} + ... + {x^n} - 1}}{x} = \mathop {lim }\limits_{x \to 0} \frac{{nx + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}{x^2} + ... + {x^n}}}{x} = \mathop {lim }\limits_{x \to 0} \left( {n + \frac{{n(n - 1)}}{{2!}}x + ... + {x^{n - 1}}} \right) = n\)

Vậy, để hàm số liên tục tại x = 0, ta cần có a = n.

Câu 13:

Hàm số \(f'(x) = {x^2} - 3\left| x \right| + 2\) có f'(0) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có f'(x) = x^2 - 3|x| + 2. Để tính f'(0), ta thay x = 0 vào biểu thức của f'(x). Khi đó, f'(0) = 0^2 - 3|0| + 2 = 0 - 0 + 2 = 2. Tuy nhiên, không có đáp án nào là 2. Ta cần xem xét lại tính khả vi của hàm số tại x=0.

Hàm số f(x) có thể được viết lại như sau:

f(x) = x^2 - 3x + 2 khi x >= 0
f(x) = x^2 + 3x + 2 khi x < 0

Tính đạo hàm bên phải tại x=0: f'(0+) = lim (x->0+) (f(x) - f(0))/(x-0) = lim (x->0+) (x^2 - 3x + 2 - 2)/x = lim (x->0+) (x-3) = -3
Tính đạo hàm bên trái tại x=0: f'(0-) = lim (x->0-) (f(x) - f(0))/(x-0) = lim (x->0-) (x^2 + 3x + 2 - 2)/x = lim (x->0-) (x+3) = 3

Vì đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải tại x=0 không bằng nhau (f'(0+) != f'(0-)), nên f'(0) không tồn tại.

Câu 14:

Hàm số \(x = a.{\cos ^3}t,\,y = b.{\sin ^3}t,\,t \in (0,\frac{\pi }{2})\) có y'(x) là:

Lời giải: