Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}}} dx\)
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}}} dx\), ta phân tích hàm phân thức hữu tỉ thành tổng các phân thức đơn giản:
\(\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}} = \frac{A}{{x - 1}} + \frac{B}{{x + 2}} + \frac{C}{{x + 3}}\)
Quy đồng mẫu số và so sánh tử số, ta có:
\(1 = A(x + 2)(x + 3) + B(x - 1)(x + 3) + C(x - 1)(x + 2)\)
Chọn các giá trị thích hợp của \(x\) để tìm \(A, B, C\):
* Với \(x = 1\): \(1 = A(3)(4) \Rightarrow A = \frac{1}{{12}}\)
* Với \(x = -2\): \(1 = B(-3)(1) \Rightarrow B = -\frac{1}{3}\)
* Với \(x = -3\): \(1 = C(-4)(-1) \Rightarrow C = \frac{1}{4}\)
Vậy:
\(\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}} = \frac{1}{{12(x - 1)}} - \frac{1}{{3(x + 2)}} + \frac{1}{{4(x + 3)}}\)
Tính tích phân:
\(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}}} dx = \int\limits_2^{ + \infty } {\left( {\frac{1}{{12(x - 1)}} - \frac{1}{{3(x + 2)}} + \frac{1}{{4(x + 3)}}} \right)} dx\)
\(= \left[ {\frac{1}{{12}}\ln |x - 1| - \frac{1}{3}\ln |x + 2| + \frac{1}{4}\ln |x + 3|} \right]_2^{ + \infty }\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left[ {\frac{1}{{12}}\ln |x - 1| - \frac{1}{3}\ln |x + 2| + \frac{1}{4}\ln |x + 3|} \right]_2^b\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\frac{1}{{12}}\ln (b - 1) - \frac{1}{3}\ln (b + 2) + \frac{1}{4}\ln (b + 3) - \frac{1}{{12}}\ln 1 + \frac{1}{3}\ln 4 - \frac{1}{4}\ln 5} \right)\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\frac{1}{{12}}\ln (b - 1) - \frac{1}{3}\ln (b + 2) + \frac{1}{4}\ln (b + 3)} \right) + \frac{1}{3}\ln 4 - \frac{1}{4}\ln 5\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \ln \sqrt[12]{{\frac{{(b - 1){{(b + 3)}^3}}}{{{{(b + 2)}^4}}}}} + \frac{2}{3}\ln 2 - \frac{1}{4}\ln 5\)
\(= \ln 1 + \frac{2}{3}\ln 2 - \frac{1}{4}\ln 5 = \frac{2}{3}\ln 2 - \frac{1}{4}\ln 5\)
Vậy, đáp án đúng là \(\frac{2}{3}\ln 2 - \frac{1}{4}\ln 5\) hay \( - \frac{1}{4}\ln 5 + \frac{2}{3}\ln 2\).
Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!
30 câu hỏi 60 phút
