Tính tích phân \(\int\limits_1^e {\frac{{\cos (\ln x)dx}}{x}} \)

cos1

sin1

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Đặt \(t = \ln x\), suy ra \(dt = \frac{dx}{x}\). Khi \(x = 1\) thì \(t = \ln 1 = 0\), khi \(x = e\) thì \(t = \ln e = 1\). Vậy tích phân trở thành:\n\(\int_0^1 \cos(t) dt = \sin(t) \Big|_0^1 = \sin(1) - \sin(0) = \sin(1) - 0 = \sin(1)\)

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 4

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 1:

Tính \(\int {{{(1 + 2x)}^{2013}}} dx\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có công thức tính nguyên hàm của hàm hợp: \(\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1} + C\)
Áp dụng vào bài toán:
\(\int {{{(1 + 2x)}^{2013}}} dx = \frac{1}{2(2013+1)}(1+2x)^{2013+1} + C = \frac{1}{4028}(1+2x)^{2014} + C\)
Vậy đáp án đúng là \(\frac{1}{{4028}}{(1 + 2x)^{2014}} + C\)

Câu 2:

Tính tích phân \(I = \int {\frac{{3dx}}{{{x^2} - 7x + 10}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có \(I = \int {\frac{{3dx}}{{{x^2} - 7x + 10}}} = \int {\frac{{3dx}}{{(x - 2)(x - 5)}}} \).
Phân tích thành phân thức đơn giản:
\(\frac{3}{{(x - 2)(x - 5)}} = \frac{A}{{x - 2}} + \frac{B}{{x - 5}}\)
\(3 = A(x - 5) + B(x - 2)\)
Chọn \(x = 2\), ta được \(3 = A(2 - 5) \Rightarrow A = -1\).
Chọn \(x = 5\), ta được \(3 = B(5 - 2) \Rightarrow B = 1\).
Vậy, \(\frac{3}{{(x - 2)(x - 5)}} = -\frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 5}}\).
Do đó, \(I = \int {\left( { - \frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 5}}} \right)dx} = - \int {\frac{{dx}}{{x - 2}}} + \int {\frac{{dx}}{{x - 5}}} = - \ln \left| {x - 2} \right| + \ln \left| {x - 5} \right| + C = \ln \left| {x - 5} \right| - \ln \left| {x - 2} \right| + C\)

Câu 3:

Tính tích phân \(I = \int { \frac{{7{{(\ln x - 1)}^6}}}{x}} dx\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Đặt \(t = \ln x - 1\), suy ra \(dt = \frac{1}{x} dx\). Khi đó, tích phân trở thành:
\[I = \int 7t^6 dt = 7 \cdot \frac{t^7}{7} + C = t^7 + C = (\ln x - 1)^7 + C.\]
Vậy đáp án đúng là \((\ln x - 1)^7 + C\).

Câu 4:

Tính \(\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}( - 3x + 1)}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có công thức nguyên hàm: \(\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}(ax + b)}}} = - \frac{1}{a}\cot (ax + b) + C\).
Áp dụng công thức với \(a = - 3\) và \(b = 1\), ta được:
\(\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}( - 3x + 1)}}} = - \frac{1}{{ - 3}}\cot ( - 3x + 1) + C = \frac{1}{3}\cot ( - 3x + 1) + C\)

Câu 5:

Tính tích phân xác định \(I = \int\limits_1^e {\frac{{dx}}{{2x(1 + {{\ln }^2}x)}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \frac{1}{x}dx\).

Đổi cận: \(\begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\ x = e \Rightarrow t = 1\end{array}\)

Khi đó, \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{2(1 + {t^2})}}} = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{1 + {t^2}}}} = \frac{1}{2}arctan(t)\left. {\begin{array}{* {20}{c}}\ {} \\ {} \end{array}} \right|_0^1 = \frac{1}{2}(arctan(1) - arctan(0)) = \frac{1}{2}(\frac{\pi }{4} - 0) = \frac{\pi }{8}\)

Câu 6:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \({x^2} - y = 0,\,{x^3} - y = 0\)

Lời giải: