Cho \(S = {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{2}{3}} \right)} ^n}\) . Chọn phát biểu đúng:

\(S = + \infty\)

S = 2

S = 3

S = 0

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Câu hỏi yêu cầu tính tổng của chuỗi số \(S = {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{2}{3}} \right)} ^n}\).

Đây là một cấp số nhân vô hạn có công bội q = 2/3 và số hạng đầu u1 = 2/3. Vì |q| < 1 nên chuỗi này hội tụ và tổng của nó được tính bằng công thức:

\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{1 - \frac{2}{3}}} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{\frac{1}{3}}} = 2\)

Vậy, S = 2.

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 4

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 27:

Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_3^{ + \infty } {\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}}dx} \)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_3^{ + \infty } {\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}}dx} \), ta thực hiện các bước sau:

1. Phân tích hàm số dưới dấu tích phân:
Ta phân tích \(\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}}\) thành tổng của các phân thức đơn giản:
\(\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}} = \frac{A}{{x + 1}} + \frac{B}{{x - 2}}\)
\(1 = A(x - 2) + B(x + 1)\)
Chọn \(x = 2\): \(1 = 3B \Rightarrow B = \frac{1}{3}\)
Chọn \(x = -1\): \(1 = -3A \Rightarrow A = -\frac{1}{3}\)
Vậy, \(\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}} = -\frac{1}{3}\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{3}\frac{1}{{x - 2}}\)

2. Tính tích phân:
\(\int\limits_3^{ + \infty } {\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}}dx} = \frac{1}{3}\int\limits_3^{ + \infty } {\left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \)
\(= \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \int\limits_3^b {\left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \)
\(= \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left[ {\ln |x - 2| - \ln |x + 1|} \right]_3^b\)
\(= \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left[ {\ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right|} \right]_3^b\)
\(= \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\ln \left| {\frac{{b - 2}}{{b + 1}}} \right| - \ln \left| {\frac{{3 - 2}}{{3 + 1}}} \right|} \right)\)
\(= \frac{1}{3}\left( {\ln 1 - \ln \frac{1}{4}} \right) = \frac{1}{3}\left( {0 - \ln \frac{1}{4}} \right) = -\frac{1}{3}\ln \frac{1}{4} = \frac{1}{3}\ln 4 = \frac{1}{3}\ln {2^2} = \frac{2}{3}\ln 2\)

Vậy, tích phân suy rộng \(\int\limits_3^{ + \infty } {\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}}dx} = \frac{2}{3}\ln 2\).

Câu 28:

Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_0^{ + \infty } {x{e^{ - 2x}}dx} \)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Câu 29:

Tính tích phân \(\int\limits_a^b {dx}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có:
\(\int\limits_a^b {dx} = x|_a^b = b - a\)

Câu 30:

Tính tích phân \(\int\limits_1^e {\frac{{\cos (\ln x)dx}}{x}} \)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Đặt \(t = \ln x\), suy ra \(dt = \frac{dx}{x}\). Khi \(x = 1\) thì \(t = \ln 1 = 0\), khi \(x = e\) thì \(t = \ln e = 1\). Vậy tích phân trở thành:\n\(\int_0^1 \cos(t) dt = \sin(t) \Big|_0^1 = \sin(1) - \sin(0) = \sin(1) - 0 = \sin(1)\)

Câu 1:

Tính \(\int {{{(1 + 2x)}^{2013}}} dx\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có công thức tính nguyên hàm của hàm hợp: \(\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a(n+1)}(ax+b)^{n+1} + C\)
Áp dụng vào bài toán:
\(\int {{{(1 + 2x)}^{2013}}} dx = \frac{1}{2(2013+1)}(1+2x)^{2013+1} + C = \frac{1}{4028}(1+2x)^{2014} + C\)
Vậy đáp án đúng là \(\frac{1}{{4028}}{(1 + 2x)^{2014}} + C\)

Câu 2:

Tính tích phân \(I = \int {\frac{{3dx}}{{{x^2} - 7x + 10}}}\)

Lời giải: