Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_0^{ + \infty } {x{e^{ - 2x}}dx} \)
Trả lời:
Đáp án đúng: B
Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_0^{ + \infty } {x{e^{ - 2x}}dx} \), ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
Đặt \(u = x\) và \(dv = e^{-2x}dx\). Khi đó, \(du = dx\) và \(v = -\frac{1}{2}e^{-2x}\).
Áp dụng công thức tích phân từng phần: \(\int u dv = uv - \int v du\), ta có:
\(\int\limits_0^{ + \infty } {x{e^{ - 2x}}dx} = \left[ { - \frac{1}{2}x{e^{ - 2x}}} \right]_0^{ + \infty } - \int\limits_0^{ + \infty } {\left( { - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}}} \right)dx} \)
\(= \left[ { - \frac{1}{2}x{e^{ - 2x}}} \right]_0^{ + \infty } + \frac{1}{2}\int\limits_0^{ + \infty } {{e^{ - 2x}}dx} \)
Tính giới hạn \(\mathop {lim} \limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{1}{2}x{e^{ - 2x}}} \right)\). Sử dụng quy tắc L'Hôpital:
\(\mathop {lim} \limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{x}{{2{e^{2x}}}}} \right) = \mathop {lim} \limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{1}{{4{e^{2x}}}}} \right) = 0\)
Vậy, \(\left[ { - \frac{1}{2}x{e^{ - 2x}}} \right]_0^{ + \infty } = 0 - 0 = 0\).
Tiếp theo, tính tích phân \(\frac{1}{2}\int\limits_0^{ + \infty } {{e^{ - 2x}}dx} \):
\(\frac{1}{2}\int\limits_0^{ + \infty } {{e^{ - 2x}}dx} = \frac{1}{2}\left[ { - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}}} \right]_0^{ + \infty } = \frac{1}{2}\left( {0 - \left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)
Vậy, \(\int\limits_0^{ + \infty } {x{e^{ - 2x}}dx} = \frac{1}{4}\).
Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!
30 câu hỏi 60 phút
