Bán kính hội tụ của chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{2^n} + {e^n}}}} \) là:

r = 1/e

r = 1

r = e

\(+ \infty\)

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Để tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{2^n} + {e^n}}}} \), ta sử dụng tiêu chuẩn D'Alembert (tỉ số). Gọi \(a_n = \frac{1}{2^n + e^n}\). Khi đó, bán kính hội tụ \(R\) được tính bởi: \(R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2^n + e^n}}{\frac{1}{2^{n+1} + e^{n+1}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} + e^{n+1}}{2^n + e^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}/e^n + e}{2^n/e^n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot (2/e)^n + e}{(2/e)^n + 1}\) Vì \(e > 2\), nên \(2/e < 1\). Do đó, \(\lim_{n \to \infty} (2/e)^n = 0\). Vậy: \(R = \frac{0 + e}{0 + 1} = e\) Vậy bán kính hội tụ là \(r = e\).

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 4

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 25:

Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}}} dx\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}}} dx\), ta phân tích hàm phân thức hữu tỉ thành tổng các phân thức đơn giản:

\(\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}} = \frac{A}{{x - 1}} + \frac{B}{{x + 2}} + \frac{C}{{x + 3}}\)

Quy đồng mẫu số và so sánh tử số, ta có:

\(1 = A(x + 2)(x + 3) + B(x - 1)(x + 3) + C(x - 1)(x + 2)\)

Chọn các giá trị thích hợp của \(x\) để tìm \(A, B, C\):

* Với \(x = 1\): \(1 = A(3)(4) \Rightarrow A = \frac{1}{{12}}\)
* Với \(x = -2\): \(1 = B(-3)(1) \Rightarrow B = -\frac{1}{3}\)
* Với \(x = -3\): \(1 = C(-4)(-1) \Rightarrow C = \frac{1}{4}\)

Vậy:

\(\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}} = \frac{1}{{12(x - 1)}} - \frac{1}{{3(x + 2)}} + \frac{1}{{4(x + 3)}}\)

Tính tích phân:

\(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}}} dx = \int\limits_2^{ + \infty } {\left( {\frac{1}{{12(x - 1)}} - \frac{1}{{3(x + 2)}} + \frac{1}{{4(x + 3)}}} \right)} dx\)

\(= \left[ {\frac{1}{{12}}\ln |x - 1| - \frac{1}{3}\ln |x + 2| + \frac{1}{4}\ln |x + 3|} \right]_2^{ + \infty }\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left[ {\frac{1}{{12}}\ln |x - 1| - \frac{1}{3}\ln |x + 2| + \frac{1}{4}\ln |x + 3|} \right]_2^b\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\frac{1}{{12}}\ln (b - 1) - \frac{1}{3}\ln (b + 2) + \frac{1}{4}\ln (b + 3) - \frac{1}{{12}}\ln 1 + \frac{1}{3}\ln 4 - \frac{1}{4}\ln 5} \right)\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\frac{1}{{12}}\ln (b - 1) - \frac{1}{3}\ln (b + 2) + \frac{1}{4}\ln (b + 3)} \right) + \frac{1}{3}\ln 4 - \frac{1}{4}\ln 5\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \ln \sqrt[12]{{\frac{{(b - 1){{(b + 3)}^3}}}{{{{(b + 2)}^4}}}}} + \frac{2}{3}\ln 2 - \frac{1}{4}\ln 5\)

\(= \ln 1 + \frac{2}{3}\ln 2 - \frac{1}{4}\ln 5 = \frac{2}{3}\ln 2 - \frac{1}{4}\ln 5\)

Vậy, đáp án đúng là \(\frac{2}{3}\ln 2 - \frac{1}{4}\ln 5\) hay \( - \frac{1}{4}\ln 5 + \frac{2}{3}\ln 2\).

Câu 26:

Cho \(S = {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{2}{3}} \right)} ^n}\) . Chọn phát biểu đúng:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Câu hỏi yêu cầu tính tổng của chuỗi số \(S = {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{2}{3}} \right)} ^n}\).

Đây là một cấp số nhân vô hạn có công bội q = 2/3 và số hạng đầu u1 = 2/3. Vì |q| < 1 nên chuỗi này hội tụ và tổng của nó được tính bằng công thức:

\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{1 - \frac{2}{3}}} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{\frac{1}{3}}} = 2\)

Vậy, S = 2.

Câu 27:

Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_3^{ + \infty } {\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}}dx} \)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_3^{ + \infty } {\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}}dx} \), ta thực hiện các bước sau:

1. Phân tích hàm số dưới dấu tích phân:
Ta phân tích \(\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}}\) thành tổng của các phân thức đơn giản:
\(\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}} = \frac{A}{{x + 1}} + \frac{B}{{x - 2}}\)
\(1 = A(x - 2) + B(x + 1)\)
Chọn \(x = 2\): \(1 = 3B \Rightarrow B = \frac{1}{3}\)
Chọn \(x = -1\): \(1 = -3A \Rightarrow A = -\frac{1}{3}\)
Vậy, \(\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}} = -\frac{1}{3}\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{3}\frac{1}{{x - 2}}\)

2. Tính tích phân:
\(\int\limits_3^{ + \infty } {\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}}dx} = \frac{1}{3}\int\limits_3^{ + \infty } {\left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \)
\(= \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \int\limits_3^b {\left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \)
\(= \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left[ {\ln |x - 2| - \ln |x + 1|} \right]_3^b\)
\(= \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left[ {\ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right|} \right]_3^b\)
\(= \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\ln \left| {\frac{{b - 2}}{{b + 1}}} \right| - \ln \left| {\frac{{3 - 2}}{{3 + 1}}} \right|} \right)\)
\(= \frac{1}{3}\left( {\ln 1 - \ln \frac{1}{4}} \right) = \frac{1}{3}\left( {0 - \ln \frac{1}{4}} \right) = -\frac{1}{3}\ln \frac{1}{4} = \frac{1}{3}\ln 4 = \frac{1}{3}\ln {2^2} = \frac{2}{3}\ln 2\)

Vậy, tích phân suy rộng \(\int\limits_3^{ + \infty } {\frac{1}{{(x + 1)(x - 2)}}dx} = \frac{2}{3}\ln 2\).

Câu 28:

Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_0^{ + \infty } {x{e^{ - 2x}}dx} \)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Câu 29:

Tính tích phân \(\int\limits_a^b {dx}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có:
\(\int\limits_a^b {dx} = x|_a^b = b - a\)

Câu 30:

Tính tích phân \(\int\limits_1^e {\frac{{\cos (\ln x)dx}}{x}} \)

Lời giải: