Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \cot 2x.\cot (\frac{\pi }{4} - x)\)

1/2

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Ta có: \(\cot 2x.\cot (\frac{\pi }{4} - x) = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} . \frac{\cos (\frac{\pi }{4} - x)}{\sin (\frac{\pi }{4} - x)} = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} . \frac{\cos \frac{\pi }{4} \cos x + \sin \frac{\pi }{4} \sin x}{\sin \frac{\pi }{4} \cos x - \cos \frac{\pi }{4} \sin x} = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} . \frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x} = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} . \frac{(\cos x + \sin x)^2}{\cos^2 x - \sin^2 x} = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} . \frac{(\cos x + \sin x)^2}{\cos 2x} = \frac{(\cos x + \sin x)^2}{\sin 2x} = \frac{\cos^2 x + 2\sin x \cos x + \sin^2 x}{2\sin x \cos x} = \frac{1 + \sin 2x}{2\sin x \cos x} = \frac{1 + \sin 2x}{\sin 2x}\) Do đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \cot 2x.\cot (\frac{\pi }{4} - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \frac{1 + \sin 2x}{\sin 2x} = \frac{1 + \sin \frac{\pi}{2}}{\sin \frac{\pi}{2}} = \frac{1 + 1}{1} = 2\)

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 4

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 21:

Tìm điểm gián đoạn của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\ln \left| {x - 1} \right|}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\ln \left| {x - 1} \right|}}\) gián đoạn khi mẫu số bằng 0 hoặc khi biểu thức trong logarit không xác định.

1. Mẫu số bằng 0: \(\ln \left| {x - 1} \right| = 0 \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| = 1 \Leftrightarrow x - 1 = 1\) hoặc \(x - 1 = -1\). Suy ra \(x = 2\) hoặc \(x = 0\).

2. Biểu thức trong logarit không dương: \(\left| {x - 1} \right| > 0 \Leftrightarrow x \ne 1\). Vậy x = 1 cũng là một điểm gián đoạn.

Vậy các điểm gián đoạn là x = 0, x = 1, x = 2.

Câu 22:

Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - {\tan ^2}x)^{1/{{\sin }^2}(2x)}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Câu 23:

Hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2}\sin \left( {\frac{1}{x}} \right),\,x \ne 0\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \end{array} \right.\) có f'(0) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm f'(0), ta sử dụng định nghĩa đạo hàm:
f'(0) = lim (x->0) [f(x) - f(0)] / (x - 0)
Vì f(0) = 0, ta có:
f'(0) = lim (x->0) f(x) / x = lim (x->0) [x^2 * sin(1/x)] / x = lim (x->0) x * sin(1/x)
Vì -1 <= sin(1/x) <= 1, ta có:
- |x| <= x * sin(1/x) <= |x|
Khi x -> 0, cả -|x| và |x| đều tiến tới 0. Theo định lý kẹp, ta có:
lim (x->0) x * sin(1/x) = 0
Vậy, f'(0) = 0.

Câu 24:

Bán kính hội tụ của chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{2^n} + {e^n}}}} \) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{2^n} + {e^n}}}} \), ta sử dụng tiêu chuẩn D'Alembert (tỉ số). Gọi \(a_n = \frac{1}{2^n + e^n}\). Khi đó, bán kính hội tụ \(R\) được tính bởi:

\(R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2^n + e^n}}{\frac{1}{2^{n+1} + e^{n+1}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} + e^{n+1}}{2^n + e^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}/e^n + e}{2^n/e^n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot (2/e)^n + e}{(2/e)^n + 1}\)

Vì \(e > 2\), nên \(2/e < 1\). Do đó, \(\lim_{n \to \infty} (2/e)^n = 0\). Vậy:

\(R = \frac{0 + e}{0 + 1} = e\)

Vậy bán kính hội tụ là \(r = e\).

Câu 25:

Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}}} dx\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}}} dx\), ta phân tích hàm phân thức hữu tỉ thành tổng các phân thức đơn giản:

\(\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}} = \frac{A}{{x - 1}} + \frac{B}{{x + 2}} + \frac{C}{{x + 3}}\)

Quy đồng mẫu số và so sánh tử số, ta có:

\(1 = A(x + 2)(x + 3) + B(x - 1)(x + 3) + C(x - 1)(x + 2)\)

Chọn các giá trị thích hợp của \(x\) để tìm \(A, B, C\):

* Với \(x = 1\): \(1 = A(3)(4) \Rightarrow A = \frac{1}{{12}}\)
* Với \(x = -2\): \(1 = B(-3)(1) \Rightarrow B = -\frac{1}{3}\)
* Với \(x = -3\): \(1 = C(-4)(-1) \Rightarrow C = \frac{1}{4}\)

Vậy:

\(\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}} = \frac{1}{{12(x - 1)}} - \frac{1}{{3(x + 2)}} + \frac{1}{{4(x + 3)}}\)

Tính tích phân:

\(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}}} dx = \int\limits_2^{ + \infty } {\left( {\frac{1}{{12(x - 1)}} - \frac{1}{{3(x + 2)}} + \frac{1}{{4(x + 3)}}} \right)} dx\)

\(= \left[ {\frac{1}{{12}}\ln |x - 1| - \frac{1}{3}\ln |x + 2| + \frac{1}{4}\ln |x + 3|} \right]_2^{ + \infty }\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left[ {\frac{1}{{12}}\ln |x - 1| - \frac{1}{3}\ln |x + 2| + \frac{1}{4}\ln |x + 3|} \right]_2^b\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\frac{1}{{12}}\ln (b - 1) - \frac{1}{3}\ln (b + 2) + \frac{1}{4}\ln (b + 3) - \frac{1}{{12}}\ln 1 + \frac{1}{3}\ln 4 - \frac{1}{4}\ln 5} \right)\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\frac{1}{{12}}\ln (b - 1) - \frac{1}{3}\ln (b + 2) + \frac{1}{4}\ln (b + 3)} \right) + \frac{1}{3}\ln 4 - \frac{1}{4}\ln 5\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \ln \sqrt[12]{{\frac{{(b - 1){{(b + 3)}^3}}}{{{{(b + 2)}^4}}}}} + \frac{2}{3}\ln 2 - \frac{1}{4}\ln 5\)

\(= \ln 1 + \frac{2}{3}\ln 2 - \frac{1}{4}\ln 5 = \frac{2}{3}\ln 2 - \frac{1}{4}\ln 5\)

Vậy, đáp án đúng là \(\frac{2}{3}\ln 2 - \frac{1}{4}\ln 5\) hay \( - \frac{1}{4}\ln 5 + \frac{2}{3}\ln 2\).

Câu 26:

Cho \(S = {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{2}{3}} \right)} ^n}\) . Chọn phát biểu đúng:

Lời giải: