Hàm số \(x = a.{\cos ^3}t,\,y = b.{\sin ^3}t,\,t \in (0,\frac{\pi }{2})\) có x'(t) là:

Hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\ln \left| {x - 1} \right|}}\) gián đoạn khi mẫu bằng 0 hoặc khi biểu thức trong logarit không dương.

• \(\ln \left| {x - 1} \right| = 0 \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| = 1 \Leftrightarrow x - 1 = 1 \vee x - 1 = -1 \Leftrightarrow x = 2 \vee x = 0\)

• Điều kiện để hàm số xác định là \(\left| {x - 1} \right| > 0 \Leftrightarrow x \ne 1\)

Vậy hàm số gián đoạn tại x = 0, x = 1, x = 2.

Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - {\tan ^2}x)^{1/{{\sin }^2}(2x)}}\) = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} e^{\ln {{(1 - {\tan ^2}x)}^{1/{{\sin }^2}(2x)}}} \)
= \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} e^{\frac{{\ln (1 - {{\tan }^2}x)}}{{{{\sin }^2}(2x)}}} \)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 - {{\tan }^2}x)}}{{{{\sin }^2}(2x)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 - {{\tan }^2}x)}}{{ - {{\tan }^2}x}}.\frac{{ - {{\tan }^2}x}}{{{{\sin }^2}(2x)}}\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 - {{\tan }^2}x)}}{{ - {{\tan }^2}x}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - {{\tan }^2}x}}{{{{\sin }^2}(2x)}}\) = 1.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - {{\tan }^2}x}}{{{{\sin }^2}(2x)}}\)
= \( - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(\frac{{\tan x}}{{\sin (2x)}})^2} = - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(\frac{{\sin x}}{{\cos x.2\sin x\cos x}})^2}\)
\(= - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(\frac{1}{{2{{\cos }^2}x}})^2} = - {(\frac{1}{2})^2} = - \frac{1}{4}\)
Suy ra:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - {\tan ^2}x)^{1/{{\sin }^2}(2x)}} = {e^{ - \frac{1}{4}}}\)