Hàm số \(x = a.{\cos ^3}t,\,y = b.{\sin ^3}t,\,t \in (0,\frac{\pi }{2})\) có x'(t) là:

\(- 3a{\sin ^2}t\sin t \ne 0,\forall t \in (0,\frac{\pi }{2})\)

\( - {\cos ^2}t\sin t \ne 0,\forall t \in (0,\frac{\pi }{2})\)

\(- 3a{\cos ^2}t \ne 0,\forall t \in (0,\frac{\pi }{2})\)

\(- 3a{\cos ^2}t\sin t \ne 0,\forall t \in (0,\frac{\pi }{2})\)

Trả lời:

Đáp án đúng: D

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 4

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 20:

Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \cot 2x.\cot (\frac{\pi }{4} - x)\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có:
\(\cot 2x.\cot (\frac{\pi }{4} - x) = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} . \frac{\cos (\frac{\pi }{4} - x)}{\sin (\frac{\pi }{4} - x)} = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} . \frac{\cos \frac{\pi }{4} \cos x + \sin \frac{\pi }{4} \sin x}{\sin \frac{\pi }{4} \cos x - \cos \frac{\pi }{4} \sin x} = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} . \frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x} = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} . \frac{(\cos x + \sin x)^2}{\cos^2 x - \sin^2 x} = \frac{\cos 2x}{\sin 2x} . \frac{(\cos x + \sin x)^2}{\cos 2x} = \frac{(\cos x + \sin x)^2}{\sin 2x} = \frac{\cos^2 x + 2\sin x \cos x + \sin^2 x}{2\sin x \cos x} = \frac{1 + \sin 2x}{2\sin x \cos x} = \frac{1 + \sin 2x}{\sin 2x}\)
Do đó:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \cot 2x.\cot (\frac{\pi }{4} - x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi /4} \frac{1 + \sin 2x}{\sin 2x} = \frac{1 + \sin \frac{\pi}{2}}{\sin \frac{\pi}{2}} = \frac{1 + 1}{1} = 2\)

Câu 21:

Tìm điểm gián đoạn của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\ln \left| {x - 1} \right|}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\ln \left| {x - 1} \right|}}\) gián đoạn khi mẫu số bằng 0 hoặc khi biểu thức trong logarit không xác định.

1. Mẫu số bằng 0: \(\ln \left| {x - 1} \right| = 0 \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| = 1 \Leftrightarrow x - 1 = 1\) hoặc \(x - 1 = -1\). Suy ra \(x = 2\) hoặc \(x = 0\).

2. Biểu thức trong logarit không dương: \(\left| {x - 1} \right| > 0 \Leftrightarrow x \ne 1\). Vậy x = 1 cũng là một điểm gián đoạn.

Vậy các điểm gián đoạn là x = 0, x = 1, x = 2.

Câu 22:

Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 - {\tan ^2}x)^{1/{{\sin }^2}(2x)}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Câu 23:

Hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2}\sin \left( {\frac{1}{x}} \right),\,x \ne 0\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \end{array} \right.\) có f'(0) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm f'(0), ta sử dụng định nghĩa đạo hàm:
f'(0) = lim (x->0) [f(x) - f(0)] / (x - 0)
Vì f(0) = 0, ta có:
f'(0) = lim (x->0) f(x) / x = lim (x->0) [x^2 * sin(1/x)] / x = lim (x->0) x * sin(1/x)
Vì -1 <= sin(1/x) <= 1, ta có:
- |x| <= x * sin(1/x) <= |x|
Khi x -> 0, cả -|x| và |x| đều tiến tới 0. Theo định lý kẹp, ta có:
lim (x->0) x * sin(1/x) = 0
Vậy, f'(0) = 0.

Câu 24:

Bán kính hội tụ của chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{2^n} + {e^n}}}} \) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{2^n} + {e^n}}}} \), ta sử dụng tiêu chuẩn D'Alembert (tỉ số). Gọi \(a_n = \frac{1}{2^n + e^n}\). Khi đó, bán kính hội tụ \(R\) được tính bởi:

\(R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2^n + e^n}}{\frac{1}{2^{n+1} + e^{n+1}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} + e^{n+1}}{2^n + e^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}/e^n + e}{2^n/e^n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \cdot (2/e)^n + e}{(2/e)^n + 1}\)

Vì \(e > 2\), nên \(2/e < 1\). Do đó, \(\lim_{n \to \infty} (2/e)^n = 0\). Vậy:

\(R = \frac{0 + e}{0 + 1} = e\)

Vậy bán kính hội tụ là \(r = e\).

Câu 25:

Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{(x - 1)(x + 2)(x + 3)}}} dx\)

Lời giải: