Một ôtô khối lượng 1 tấn, chuyển động đều với vận tốc 72 km/h, lên một cái cầu vồng có bán kính cong 100 m. Tính áp lực của xe lên cầu tại đỉnh cầu.

Bài toán này sử dụng định luật bảo toàn động lượng theo phương ngang. Gọi M là khối lượng toa xe (0,5 tấn = 500 kg), m là khối lượng cục đá (5 kg), v là vận tốc cục đá (100 m/s), α là góc hợp bởi phương ngang và phương của vận tốc cục đá (36 độ), và V là vận tốc của toa xe sau khi cục đá cắm vào.

Động lượng của hệ (toa xe và cục đá) theo phương ngang được bảo toàn. Ban đầu, chỉ có cục đá có động lượng theo phương ngang là mv*cos(α). Sau đó, cả toa xe và cục đá chuyển động cùng nhau với vận tốc V, nên động lượng của hệ là (M+m)V.

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng: mv*cos(α) = (M+m)V

Suy ra: V = (mv*cos(α))/(M+m) = (5 * 100 * cos(36))/(500 + 5) = (500 * cos(36))/505 ≈ (500 * 0.809)/505 ≈ 404.5/505 ≈ 0.8 m/s

Vậy vận tốc của toa xe ngay sau đó là khoảng 0,8 m/s.

Động lượng của chất điểm được bảo toàn khi không có lực tác dụng lên chất điểm, hoặc khi hợp lực tác dụng lên chất điểm bằng không. Điều này tương ứng với việc vận tốc của chất điểm không đổi.

Nhìn vào đồ thị, ta thấy vận tốc của chất điểm không đổi (là một đường thẳng nằm ngang) trong khoảng thời gian từ t = 5s đến t = 7s. Do đó, trong khoảng thời gian này, động lượng của chất điểm được bảo toàn.

Gọi khối lượng của đĩa tròn lớn là M và khối lượng của phần bị khoét là m. Ta có: (M = \pi {R^2}\sigma ) và (m = \pi {r^2}\sigma ), trong đó (\sigma) là mật độ khối lượng trên một đơn vị diện tích. Khối tâm của phần còn lại nằm trên đường nối O và O', và ta có thể sử dụng nguyên tắc momen để tìm vị trí của nó. Gọi G là khối tâm của phần còn lại, và x là khoảng cách từ O đến G. Khi đó: ((M - m)x = md) (\Rightarrow x = \frac{{md}}{{M - m}} = \frac{{\pi {r^2}\sigma d}}{{\pi {R^2}\sigma - \pi {r^2}\sigma }} = \frac{{{r^2}d}}{{{R^2} - {r^2}}}) Vậy, khối tâm G của phần còn lại cách tâm O một khoảng (x = \frac{{{r^2}d}}{{{R^2} - {r^2}}}).

Khối tâm của hình nón đồng chất nằm trên trục của hình nón, cách đáy một khoảng bằng 1/4 chiều cao của hình nón. Trong trường hợp này, chiều cao của hình nón là 12cm, vậy khối tâm cách đáy một khoảng là 12cm / 4 = 3cm.

Đổi vận tốc góc ban đầu: (\omega_0 = 300) vòng/phút = (10\pi ) rad/s. Đổi vận tốc góc lúc sau: (\omega = 180) vòng/phút = (3\pi ) rad/s. Thời gian: t = 1 phút = 60s. Áp dụng công thức: (\omega = \omega_0 + \gamma t) (trong đó (\gamma) là gia tốc góc). Suy ra: (\gamma = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{3\pi - 10\pi}{60} = - \frac{7\pi}{60} \approx -\frac{\pi}{8.57} ) (rad/s^2). Tuy nhiên, không có đáp án nào gần với kết quả này. Xem xét lại đề bài, có lẽ có sự nhầm lẫn ở đâu đó.

Để ý rằng, nếu vận tốc lúc sau là (3\pi), ta có: (3\pi = 10\pi + \gamma.60). Vậy (\gamma = \frac{-7\pi}{60}). Đáp án gần nhất có lẽ là (- \frac{\pi}{15}).

Tuy nhiên, hãy thử một cách khác. Nếu vận tốc sau 1 phút là 180 vòng/phút, tức là 3 vòng/s. Vận tốc ban đầu là 300 vòng/phút, tức là 5 vòng/s. Vậy độ giảm vận tốc là 2 vòng/s sau 60s. Suy ra độ giảm vận tốc là 1/30 vòng/s^2. Để chuyển sang rad/s^2, ta nhân với (2\pi), vậy độ giảm là (\frac{\pi}{15}). Do đó, gia tốc góc là (- \frac{\pi}{15}) rad/s^2.